En matemática, la curvatura media de una superficie es una medida extrínseca de curvatura definida en geometría diferencial y que localmente describe la curvatura de una superficie inmersa surface en algunos ambientes como el espacio euclídeo.

El concepto fue introducido por Sophie Germain en su trabajo sobre teoría de la elasticidad.[1][2]

Definición

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Sea   un punto sobre la superficie  . Considérense todas las curvas   sobre   que pasan a través del punto   sobre la superficie. Tales   tienen una curvatura asociada   dada en  . De todas esas curvaturas  , al menos una está caracterizada como máxima,   y otra como mínima,  , y esas dos curvaturas   son conocidas como las curvaturas principales de  .

La curvatura media en   es la media de las curvaturas (Spivak, 1999, Volumen 3, Capítulo 2), y de ahí su nombre:

 

La curvatura media se puede calcular respecto a los coeficientes de la primera y segunda forma fundamental (Do carmo[3]​ 1976, capítulo 3, sección 3)

 

A partir de esta relación y la fórmula de la curvatura Gaussiana se puede definir el polinomio

 

Cuyas raíces son las curvaturas principales  .

En general (Spivak, 1999, Volumen 4, Capítulo 7), para una hipersuperficie   la curvatura media está dada por

 

Véase también

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  1. «Dubreil-Jacotin on Sophie Germain». Archivado desde el original el 23 de febrero de 2008. Consultado el 13 de febrero de 2011. 
  2. JSTOR 3647744
  3. Do Carmo, Manfredo. Differential Geometry of Curves And Surfaces. 

Referencias

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