expresiones en coordenadas espaciales para la conexión de Levi-Civita derivada del tensor métrico
En matemáticas y física, los símbolos de Christoffel, así nombrados por el
físicoElwin Bruno Christoffel (1829 - 1900), son expresiones en coordenadas espaciales para la conexión de Levi-Civita derivada del tensor métrico. Se utilizan los símbolos de Christoffel siempre que se deban realizar cálculos teóricos que implican geometría, pues permiten efectuar cálculos muy complejos sin confusión. Inversamente, la notación formal (sin índices) para la conexión de Levi-Civita, es elegante y permite que los teoremas sean establecidos de un modo breve, pero son casi inútiles para los cálculos prácticos.
Las definiciones dadas abajo son válidas para las variedades de Riemann y las variedades seudoriemannianas, tales como las de la relatividad general, con la distinción cuidadosa que debe ser hecha entre los índices superiores e inferiores (índices contra- y covariantes). Las fórmulas valen para cualquier convención de signo, a menos que se establezca explícitamente en forma diferente.
Permutando los índices, y resumiendo, se puede solucionar explícitamente para la conexión:
Obsérvese que aunque los símbolos tienen tres índices en ellos, no son tensores. No se transforman como tensores. En cambio, son los componentes de un objeto en el segundo fibrado tangente, un fibrado "jet". Vea abajo para las propiedades de transformación de los símbolos de Christoffel bajo cambio de la base coordenada.
Observe que la mayoría de los autores eligen definir los símbolos de Christoffel en una base coordenada (es decir, holonómica), que es la convención seguida aquí. En una base no holonómica, los símbolos de la conexión toman la forma más compleja:
donde son los coeficientes de conmutación de la base; es decir,
donde ek son los vectores de base y [,] es el corchete de Lie. Un ejemplo de una base no holonómica con coeficientes no triviales de conmutación es la formada por los vectores unitarios estándares en coordenadas esféricas y cilíndricas.
Las expresiones abajo son válidas solamente en una base holonómica, a menos que se establezca en forma diferente.
Sean X y Ycampos vectoriales con los componentes Xi y Yk. Entonces el componente k-ésimo de la derivada covariante de Y con respecto a X viene dada por
.
Algunos libros viejos de física escriben de vez en cuando dx en lugar de X, y lo ponen después de la ecuación, más bien que antes. Aquí, se utiliza la notación de Einstein, los índices repetidos establecen la adición sobre esos índices y la contracción con el tensor métrico sirve para levantar y para bajar índices:
.
Tenga presente que y que , la delta de Kronecker. La convención es que el tensor métrico es el que tiene los índices inferiores; la forma correcta de obtener gik de gik es solucionar la ecuación lineal .
La afirmación de que la conexión es libre de torsión , a saber que
es equivalente a la afirmación de que el símbolo de Christoffel es simétrico en los dos índices inferiores:
.
El artículo sobre derivada covariante proporciona discusión adicional de la correspondencia entre las notaciones con o sin índices. Contrayendo índices ligados, se consigue
Usando las fórmulas de la sección anterior y aplicando la contracción, se puede ver que el tensor de Ricci viene dado en términos de los símbolos de Christoffel por:
Este tensor es simétrico: . Si se realiza una última contracción sobre los dos índices del tensor de Ricci se obtiene la curvatura escalar que viene dada por:
.
La derivada covariante de la curvatura escalar se sigue de la identidad de Bianchi:
Bajo cambio de variable de a , los vectores se transforman como
y por tanto
donde el sobrelineado denota los símbolos de Christoffel en el marco de las coordenadas .
Símbolos de Christoffel bajo Transformaciones Generales de Coordenadas (TGC's)editar
Los símbolos de Christoffel no transforman como tensores bajo transformaciones generales de coordenadas (TGC's). No obstante, la variación de los símbolos de Christoffel sí que son tensores (δΓ).
Demostración
(1)
Desarrollamos el primer miembro de la ecuación y después solo cambiamos índices adecuadamente para obtener el segundo y tercer término
L. D. Landau, E. M. Lifschitz, V. B. Berestetskii y L. P. Pitaevskii (Academia de Ciencias Moscú, URSS), "Curso de física teórica. Tomo II, Teoría clásica de los campos (5ª edición), Editorial Reverté, 1987, Barcelona. ISBN 84-291-4082-4