Subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.

Definición de subespacio vectorial

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Sea   un espacio vectorial sobre   y   no vacío,   es un subespacio vectorial de   si:

 
 

Consecuencias

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  • Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por tanto un espacio vectorial.
Demostración
i) permite el cumplimiento de la propiedad conmutativa y asociativa.

ii) permite el cumplimiento de la propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva respecto las dos operaciones.

Luego para el elemento neutro de la suma este se puede obtener como  , que   y lo mismo para el elemento opuesto de la suma obtenido como  , ya que  

Notaciones

Dado   un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el abuso de lenguaje  , e incluso   es correcto.

Demostración
Se quiere ver que  :
 
 

Para ii) el abuso de lenguaje  , e incluso   es correcto.

Demostración
 

Criterio de verificación

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Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al cuerpo asociado, el vector   es también un elemento de U.

Ejemplos

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Dado el espacio vectorial  , sus elementos son del tipo  .

El subconjunto

 .

es un subespacio vectorial.

Demostración
Por definición de U los elementos son de la forma  .


 


 


como las operaciones están bien definidas entonces U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir, satisface las condiciones de subespacio vectorial de  .

El subconjunto

 

no es un subespacio vectorial.

Demostración
Nuevamente sólo es necesario verificar tres condiciones: la pertenencia del vector nulo y la cerradura de ambas operaciones.

El vector nulo (0, 0) sí es un elemento de C puesto que 0 = 0².

Sin embargo, ni la suma ni el producto son cerrados:

  • Los vectores (1, 1) y (2, 4) son elementos de C, pero su suma (1, 1) + (2, 4) = (3,5) no lo es, puesto que 5 no es igual a 3².
  • El vector (2, 4) es un elemento de C, pero al multiplicarlo por el escalar 2 se obtiene (4, 8) que no es un elemento de C puesto que 8 no es igual a 4².

Otros ejemplos

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Sea   un espacio vectorial. Asumimos que   es un espacio vectorial real, pero todo funciona también para un espacio vectorial complejo.

1) {0} es un subespacio vectorial de  . Es llamado el subespacio trivial de  .

2)   en sí es un subespacio vectorial de  .

3) Si fijamos    . Entonces el conjunto   es un subespacio de  .

4) Más generalmente, si fijamos  , ...,    , entonces el conjunto   es un subespacio de  . Este conjunto es llamado el generador lineal de  , ...,  .

5) Si fijamos   y  , ...,    , entonces el conjunto          es un subespacio afín de  . En general, no será un subespacio.

6) Si   es un subespacio de  , entonces   no es un subespacio. Esto es fácil de ver, considerando que   debe que contener el 0, pero   no contiene el 0. Por lo tanto, no puede ser un espacio vectorial.

Operaciones con subespacios

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Sea   un espacio vectorial;   y   subespacios vectoriales de  , se definen las siguientes operaciones:

Unión

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En general, la unión de subespacios no es un subespacio.

Intersección

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La intersección de dos subespacios es un subespacio.

 
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa

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Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".[1]
Es decir que si  
Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

Subespacios suplementarios

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Se dice que los subespacios   y  son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial  :

 

Dimensiones de subespacios

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La fórmula de Grassmann resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios   y   será igual a la dimensión del subespacio   más la dimensión del subespacio   menos la dimensión de la intersección de ambos, es decir:

 

Por ejemplo, siendo   y   y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego,  .

En la suma directa

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En el caso particular de la suma directa, como  .
La fórmula de Grassmann resulta:

 

Entonces en el ejemplo anterior, resultaría  .

Véase también

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Referencias

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  1. "Álgebra II" Armando O. Rojo. Editorial "El Ateneo". Buenos Aires.