Estadística de Fermi-Dirac

La estadística de Fermi-Dirac es la forma de contar estados de ocupación de forma estadística en un sistema de fermiones.[1][2]​ Forma parte de la física estadística. Y tiene aplicaciones sobre todo en la física del estado sólido.

La energía de un sistema mecanocuántico está discretizada. Esto quiere decir que las partículas no pueden tener cualquier energía, sino que ha de ser elegida de entre un conjunto de valores discretos. Para muchas aplicaciones de la física es importante saber cuántas partículas están a un nivel dado de energía. La distribución de Fermi-Dirac nos dice cuánto vale esta cantidad en función de la temperatura y el potencial químico.

La estadística F-D fue publicada por vez primera en 1926 por Enrico Fermi[3]​ y Paul Dirac.[4]

Formulación matemática

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La distribución de Fermi-Dirac viene dada por:

 

donde:

  •   el número promedio de partículas en el estado de energía  .
  •   es la degeneración del estado i-ésimo
  •   es la energía en el estado i-ésimo
  •   es el potencial químico
  •   es la temperatura
  •   la constante de Boltzmann

Derivación

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El método empleado consistirá en obtener la función de partición para la colectividad macrocanónica, de forma que una vez obtenida se conocerá el gran potencial y a partir de una relación termodinámica se obtendrá el número medio de partículas.

Dado que los sistemas fermiónicos son sistemas de partículas indistinguibles, los estados cuya única diferencia es la permutación de estados de dos partículas son idénticos. De este modo, un estado del sistema estará univocamente definido por el número de partículas que se encuentren en un determinado estado energético, y al tratarse de fermiones los números posibles son 0 y 1. Se denotará por   el estado energético r-ésimo, por   el número de partículas en el estado r-ésimo y R cada una de las posibles combinaciones de números de ocupación. La función de partición resulta:

 

La anterior expresión contiene todas las combinaciones posibles de   para los valores 0 y 1 de forma que puede ser reescrita de la siguiente forma:

 

Aplicando que:

 

se tiene que:

 

de modo que:

 

Debido a que pueden existir diferentes estados cuánticos con una misma energía el número de partículas con una determinada energía vendrá dado por:

 

siendo   la degeneración de tal energía.

Interpretación física

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Para bajas temperaturas, la distribución de fermi es una función escalón que vale 1 si   y 0 si  . Esto quiere decir que las partículas van colocando desde el nivel más bajo de energía hacia arriba debido al Principio de exclusión de Pauli hasta que se hayan puesto todas las partículas. La energía del último nivel ocupado se denomina energía de Fermi y la temperatura a la que corresponde esta energía mediante   temperatura de Fermi.

Se da la circunstancia de que la temperatura de Fermi de la mayoría de metales reales es enorme (del orden de 10000 Kelvin), por tanto la aproximación de decir que la distribución de Fermi-Dirac sigue siendo un escalón hasta temperatura ambiente es válida con bastante precisión.

La distribución de Fermi-Dirac tiene importancia capital en el estudio de gases de fermiones y en particular en el estudio de los electrones libres en un metal.

Aplicaciones

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La conductividad en los metales puede ser explicada con gran aproximación gracias a la estadística de Fermi-Dirac aplicada a los electrones de conducción o «gas electrónico» del metal.

Véase también

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  1. Dirac, Paul Adrien Maurice (1 de enero de 1981). The Principles of Quantum Mechanics (en inglés). Clarendon Press. p. 149. ISBN 9780198520115. 
  2. Pauli, Wolfgang (1 de enero de 1980). General principles of quantum mechanics (en inglés). Springer-Verlag. ISBN 9783540098423. 
  3. Fermi, Enrico (1926). «Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico». Rendiconti Lincei (en italiano) 3: 145-9. , translated as Zannoni, Alberto (transl.) (14 de diciembre de 1999). «On the Quantization of the Monoatomic Ideal Gas». arXiv:cond-mat/9912229  [cond-mat.stat-mech]. 
  4. Dirac, Paul A. M. (1926). «On the Theory of Quantum Mechanics». Proceedings of the Royal Society, Series A 112 (762): 661-77. Bibcode:1926RSPSA.112..661D. JSTOR 94692. doi:10.1098/rspa.1926.0133. 

Bibliografía

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  • Landau, L.D.; Lifshitz, E. M. (1980). Statistical Physics. Pergamon Press Ltd. 0-08-023039-3. 
  • Pathria R. K. (2001). Statistical Mechanics. Butterworth Heinemann. 0 7506 2469 8.