Análisis armónico
En matemáticas, el análisis armónico o análisis de Fourier estudia la representación de funciones o señales como superposición de ondas "básicas" o armónicos.
Investiga y generaliza las nociones de series de Fourier y transformadas de Fourier. A lo largo de los siglos XIX y XX se ha convertido en una materia enorme con aplicaciones en campos diversos como el procesamiento de señales, la espectroscopia, la mecánica cuántica o la neurociencia.
La transformada de Fourier clásica en R n sigue siendo un área de investigación en curso, en particular en lo que respecta a la transformada de Fourier en objetos más generales como distribuciones temperadas. Por ejemplo, si imponemos algunos requisitos a una distribución f, podemos intentar traducir estos requisitos en términos de la transformada de Fourier de f. El teorema de Paley–Wiener es un ejemplo de ello. El teorema de Paley-Wiener implica inmediatamente que si f es una distribución no nula de soporte compacto (esto incluye funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier nunca tiene soporte compacto (es decir, si una señal está limitada en un dominio, es ilimitada en el otro). Esta es una forma muy elemental de un principio de incertidumbre en un entorno de análisis armónico.
Las series de Fourier pueden estudiarse convenientemente en el contexto del espacio de Hilbert, lo que proporciona una conexión entre el análisis armónico y el análisis funcional. Hay cuatro versiones de la transformada de Fourier, que dependen de los espacios mapeados por la transformación (discreta/periódica-discreta/periódica: transformada discreta de Fourier, continua/periódica-discreta/periódica: serie de Fourier, discreta/periódica-continua/periódica: transformada discreta de Fourier, continua/periódica-continua/periódica: transformada de Fourier).
Serie de Fourier editar
Las series de Fourier se utilizan para descomponer una función, señal u onda periódica como suma infinita o finita de funciones, señales u ondas armónicas o sinusoidales; es decir, una serie de Fourier es un tipo de serie trigonométrica.
Transformada de Fourier editar
La transformada clásica de Fourier en Rn aún es un área de investigación activa, sobre todo en la transformación de Fourier sobre objetos más generales, como las distribuciones temperadas. Por ejemplo, si imponemos algunos requerimientos sobre una distribución f, podemos intentar trasladarlos a términos de su transformada de Fourier. El teorema de Paley–Wiener es un ejemplo de ello, que implica inmediatamente que si f es una distribución de soporte compacto (lo que incluye a las funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier no tiene nunca el soporte compacto. Esto es un tipo muy elemental de un principio de incertidumbre en términos del análisis armónico.
Las series de Fourier pueden ser estudiadas convenientemente en el contexto de los espacios de Hilbert, lo que nos da una conexión entre el análisis armónico y el análisis funcional.
Análisis armónico abstracto editar
Una de las ramas más modernas del análisis armónico, que tiene sus raíces a mediados del siglo XX, es el análisis sobre grupos topológicos. El ideal central que lo motiva es la de las varias transformadas de Fourier, que pueden ser generalizadas a una transformación de funciones definidas sobre grupos localmente compactos.
La teoría para los grupos localmente compactos abelianos se llama dualidad de Pontryagin, que se considera una proposición muy satisfactoria ya que explica las características envueltas en el análisis armónico. En su página se encuentra desarrollada en detalle.
El análisis armónico estudia las propiedades de tal dualidad y la transformada de Fourier; y pretende extender tales características a otros marcos, por ejemplo en el del caso de los grupos de Lie no abelianos.
Para grupos generales no abelianos localmente compactos, el análisis armónico está muy relacionado con la teoría unitaria de representación de grupos unitarios. Para grupos compactos, el Teorema de Peter-Weyl explica cómo se pueden conseguir armónicos extrayendo una representación irreducible de cada clase de equivalencia de representaciones. Esta elección de armónicos goza de algunas de las propiedades útiles de la transformada de Fourier clásica de forma que lleva convoluciones a productos escalares, o por otra parte mostrando cierta comprensión sobre la estructura de grupo subyacente.
Análisis armónico aplicado editar
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Muchas aplicaciones del análisis armónico en la ciencia y la ingeniería comienzan con la idea o hipótesis de que un fenómeno o señal está compuesto por una suma de componentes oscilatorios individuales. Las mareas oceánicas y las cuerdas vibrantes son ejemplos comunes y sencillos. El enfoque teórico suele consistir en intentar describir el sistema mediante una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones para predecir las características esenciales, incluyendo la amplitud, la frecuencia y las fases de los componentes oscilatorios. Las ecuaciones específicas dependen del campo, pero las teorías generalmente tratan de seleccionar las ecuaciones que representan los principios principales que son aplicables.
El enfoque experimental suele consistir en aduirir datos que cuantifiquen con precisión el fenómeno. Por ejemplo, en un estudio de las mareas, el experimentalista adquiriría muestras de la profundidad del agua en función del tiempo a intervalos lo suficientemente espaciados como para ver cada oscilación y durante una duración lo suficientemente larga como para que se incluyan probablemente múltiples períodos oscilatorios. En un estudio sobre cuerdas vibrantes, es habitual que el experimentalista adquiera una forma de onda sonora muestreada a una velocidad al menos dos veces superior a la de la frecuencia más alta esperada y durante una duración muchas veces superior al periodo de la frecuencia más baja esperada.
Por ejemplo, la señal superior de la derecha es una forma de onda sonora de un bajo que toca una cuerda abierta correspondiente a una nota A con una frecuencia fundamental de 55 Hz. La forma de onda parece oscilante, pero es más compleja que una simple onda sinusoidal, lo que indica la presencia de ondas adicionales. Los diferentes componentes de onda que contribuyen al sonido pueden revelarse aplicando una técnica de análisis matemático conocida como transformada de Fourier, cuyo resultado se muestra en la figura inferior. Observe que hay un pico prominente a 55 Hz, pero que hay otros picos a 110 Hz, 165 Hz, y a otras frecuencias correspondientes a múltiplos enteros de 55 Hz. En este caso, 55 Hz se identifica como la frecuencia fundamental de la vibración de la cuerda, y los múltiplos enteros se conocen como armónicos.
Referencias editar
- ↑ Computada con https://sourceforge.net/projects/amoreaccuratefouriertransform/.
Bibliografía editar
- Elias Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X
- Elias Stein with Timothy S. Murphy, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, 1993.
- Elias Stein, Topics in Harmonic Analysis Related to the Littlewood-Paley Theory, Princeton University Press, 1970.
- Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0; 0-521-54359-2
- Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
- Elias Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X
- Terence Tao, Fourier Transform. (Introduces the decomposition of functions into odd + even parts as a harmonic decomposition over ℤ₂.)
- George W. Mackey, Harmonic analysis as the exploitation of symmetry–a historical survey, Bull. Amer. Math. Soc. 3 (1980), 543–698.
- M. Bujosa, A. Bujosa and A. Garcıa-Ferrer. Mathematical Framework for Pseudo-Spectra of Linear Stochastic Difference Equations, IEEE Transactions on Signal Processing vol. 63 (2015), 6498-6509.
Véase también editar
Datos: Q876215
Multimedia: Harmonic analysis / Q876215
