Coeficiente de correlación de Pearson

En estadística, el coeficiente de correlación de Pearson es una medida de dependencia lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza, la correlación de Pearson es independiente de la escala de medida de las variables.

Ejemplos de diagramas de dispersión con diferentes valores del coeficiente de correlación $\rho$

De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de Pearson como un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de dos variables siempre y cuando ambas sean cuantitativas y continuas.

Definición

Para una población

El coeficiente de correlación de Pearson cuando se aplica a una población típicamente se representa por la letra griega $\rho$ (rho) y se refiere a ella coeficiente de correlación poblacional o el coeficiente de correlación poblacional de Pearson.

Dado un par de variables aleatorias $(X,Y)$, el coeficiente de correlación poblacional de Pearson (también denotado por $\rho _{X,Y}$) se define como

$\rho _{X,Y}={\sigma _{XY} \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y)}}}$

donde

• $\sigma _{XY}$ es la covarianza de $(X,Y)$
• $\sigma _{X}$ es la desviación estándar de la variable $X$
• $\sigma _{Y}$ es la desviación estándar de la variable $Y$

Para una muestra

El coeficiente de correlación de Pearson cuando es aplicado a una muestra, se suele denotar por $r_{xy}$ y se refiere a este como el coeficiente de correlación muestral o el coeficiente de correlación muestral de Pearson. Dados $n$ pares de datos $\{(x_{i},y_{i})\}_{i=1}^{n}$, se define el coeficiente de correlación muestral de Pearson como

$r_{xy}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)\left(y_{i}-{\bar {y}}\right)}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\bar {y}}\right)^{2}}}}}$

donde

• $n$ es el tamaño de la muestra.
• $x_{i},y_{i}$ son puntos muestrales individuales indexados con $i$.
• ${\bar {x}}$ denota la media muestral definida por ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ (análogamente para ${\bar {y}}$).

El coeficiente de correlación muestral también puede ser escrito como

$r_{xy}={\frac {n\sum x_{i}y_{i}-\sum x_{i}\sum y_{i}}{{\sqrt {n\sum x_{i}^{2}-(\sum x_{i})^{2}}}~{\sqrt {n\sum y_{i}^{2}-(\sum y_{i})^{2}}}}}.$

Interpretación

Varios grupos de puntos $(x,y)$, con el coeficiente de correlación para cada grupo. Nótese que la correlación refleja la no linealidad y la dirección de la relación lineal. En la figura del centro, la varianza de y es nula, por lo que la correlación es indeterminada.

El valor del índice de correlación varía en el intervalo $[-1,1]$, indicando el signo el sentido de la relación:

• Si $r=1$, existe una correlación positiva perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables denominada relación directa: cuando una de ellas aumenta, la otra también lo hace en proporción constante.
• Si $0<r<1$ entonces existe una correlación positiva.
• Si $r=0$ entonces no existe relación lineal pero esto no necesariamente implica que las variables son independientes: pueden existir todavía relaciones no lineales entre las dos variables.
• Si $-1<r<0$, existe una correlación negativa.
• Si $r=-1$, existe una correlación negativa perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables llamada relación opuesta: cuando una de ellas aumenta, la otra cambia su signo en proporción constante.

Véase también

• Covarianza
• Correlación
• Coeficiente de determinación
• Regresión
• Coeficiente de correlación de Spearman

Enlaces externos

• Correlación de Pearson en el Departamento de Psicología de la Universidad de Oviedo.
• Weisstein, Eric W. «Correlation Coefficient». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q1136628