Complejo simplicial

En la matemática, un complejo simplicial es un tipo particular de espacio topológico construido mediante el pegado de puntos, segmentos de línea, triángulos, tetraedros y demás análogos de dimensiones superiores. Este concepto no debe ser confundido con la noción abstracta de conjunto simplicial que surge en la moderna teoría simplicial homotópica

Un ejemplo de complejo simplicial. Este consiste en 17 puntos (0-símplices), 22 aristas (1-símplices), 8 triángulos (2-símplices) y 1 tetraedro (3-símplice).

Ejemplo

Sean $p_{0},\ldots ,p_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ con $k\geq 1$ que están en posición general, la clausura convexa del conjunto $\{p_{0},\ldots ,p_{k}\}$ se llama k-símplice de $\mathbb {R} ^{n}$ y se denota $\langle p_{0},\ldots ,p_{k}\rangle$. Se prueba sin dificultad que:

$\langle p_{0},\cdots ,p_{k}\rangle =\{a\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ a=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}p_{i}\}$

con $\sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}=1$ y $\lambda _{i}\geq 0$ para todas las i.

Los $\lambda _{i}\,$ de la representación anterior se llaman coordenadas baricéntricas del punto $a\,$. Si tomamos $\{p_{i_{1}},\ldots ,p_{i_{r}}\}\subseteq \{p_{0},\ldots ,p_{k}\}$, se dice que el r-símplice $\langle p_{i_{1}},\cdots ,p_{i_{r}}\rangle$ es una cara de $\langle p_{0},\cdots ,p_{k}\rangle$.

Observe que un 0-símplice es un punto, un 1-símplice es un segmento, un 2-símplice es un triángulo y un 3-símplice es un tetraedro.

Caracterización

Un complejo simplicial (finito) es un conjunto finito de $K\,$- símplices de $\mathbb {R} ^{n}$ que cumple las dos condiciones siguientes:

1. Si un símplice pertenece a $K\,$, entonces todas sus caras pertenecen a $K\,$.
2. Si dos símplices de $K\,$ se cortan, su intersección es una cara común.

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Complejo simplicial». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Simplicial_complex&oldid=15643», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

• Datos: Q994399
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