En álgebra lineal, la descomposición en valores singulares (o DVS) de una matriz real o compleja es una factorización de la misma con muchas aplicaciones en estadística y otras disciplinas.
Como el conjunto de los vectores , , es ortonormal (por lo tanto linealmente independiente), se ve que hacer el producto es ni más ni menos que una combinación lineal de las columnas de la matriz; por lo que el espacio generado por estos productos y las columnas de la matriz es el mismo. Por lo tanto, teniendo en cuenta lo demostrado en el punto anterior, es una base ortonormal de
Es claro que si los vectores , , están asociados a autovalores nulos, teniendo en cuenta lo visto en el punto 1 y también sabiendo que (demostración en el último punto de esta lista de propiedades) se ve que es una base ortonormal del
Mirando la dimensión del subespacio hallado en el punto 2 de esta demostración, es claro que
Descomposición en valores singulares de una matrizeditar
Una DVS de es una factorización del tipo con , ortogonales y una matriz formada con los valores singulares de en su diagonal principal ordenados de mayor a menor.
Recordemos que el conjunto es ortogonal, con . Si llamamos , vemos que:
es un conjunto ortonormal. Entonces, si podemos completar con hasta formar una base ortonormal de
Reescribiendo este último sistema de ecuaciones de manera matricial con las matrices ortogonal y
Claramente y, finalmente, como es una matriz ortogonal. Esta es la ecuación de una DVS de .
Viendo esta descomposición, es claro que la matriz puede escribirse como combinación lineal de matrices de rango 1 tal que:
Descomposición en valores singulares reducida (DVS reducida)editar
Este tipo de descomposición resulta de quedarse sólo con los autovectores unitarios asociados a los valores singulares no nulos. Las matrices , y entonces son:
Las matrices a continuación denotadas con la letra , son de proyección sobre el subespacio indicado. Las matrices denotadas con la letra son las identidades del orden denotado.
Las matrices simétricas y tienen los mismos autovalores no nulos y, por lo tanto, los valores singulares no nulos de la matriz pueden calcularse usando cualquiera de estas 2. Además, todos los vectores del conjunto son autovectores de y también, como ya se mencionó, . Esto es fácil de ver, teniendo en cuenta que:
Este resultado es útil para facilitar el cálculo de valores singulares. Por ejemplo, dada , entonces tiene un polinomio característico de grado 8 y tiene un polinomio característico de grado 2. Como los autovalores no nulos de ambas matrices coinciden, el cálculo de valores singulares de se hace más sencillo.
Para una matriz no cuadrada descompuesta en valores singulares , su pseudoinversa es
donde es la pseudoinversa de , que siendo una matriz diagonal se computa reemplazando todos los valores no ceros de la diagonal por sus recíprocos, y luego trasponiendo.
Un conjunto de ecuaciones lineales homogéneas se puede escribir para una matriz y un vector . Una situación típica consiste hallar no cero, conociendo . Las soluciones son todos los vectores singulares cuyo valor singular es cero, y toda combinación lineal entre ellos. Si no tiene ningún valor singular cero, entonces no hay solución aparte de .
Si , entonces , cuyos autovalores son y asociados a los autovectores y . Ya que la matriz es simétrica, estos vectores son ortogonales (ver diagonalización de matrices Hermíticas).
Entonces, los valores singulares de son y . Observamos que, efectivamente, la cantidad de valores singulares no nulos coincide con el rango de la matriz.
Ahora buscamos los vectores con , que deberán cumplir
Sea . Entonces, para hacer más sencillo el proceso, calculamos que tiene un polinomio característico de grado 2. Los autovalores son y asociados a los autovectores de norma unitaria y . Nuestro único valor singular no nulo es .
Observaciones:
Es claro que coincide con la cantidad de valores singulares no nulos de la matriz y además
Sabemos que tiene un polinomio característico de grado 3. Entonces, sus raíces son , . Veámoslo:
Ahora, sabemos que , es decir . Entonces, resulta del único Valor singular no nulo: .