En teoría de probabilidad y estadística, la distribución F, también conocida como distribución de Fisher-Snedecor (nombrada por Ronald Fisher y George Snedecor), es una distribución de probabilidad continua, aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza.

Fisher-Snedecor

Función de densidad de probabilidad

Función de distribución de probabilidad
Parámetros grados de libertad
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media para
Moda para
Varianza para
Coeficiente de simetría
para

Definición editar

Sea   una variable aleatoria continua y sean  . Se dice que la variable aleatoria   tiene una distribución   con   y   grados de libertad y escribimos   si su función de densidad está dada por

 

para  .

La expresión anterior también suele escribirse como

 

donde   es la función beta.

Propiedades editar

Si   entonces la variable aleatoria   satisface algunas propiedades:

Media editar

La media de   es

 

para  .

Varianza editar

La varianza de   está dada por

 

para  .

Teorema editar

Sean   y   variables aleatorias independientes tales que   y  , esto es   y   siguen una distribución chi-cuadrado con   y   grados de libertad respectivamente entonces la variable aleatoria

 

donde   denota la distribución   con   y   grados de libertad.

Demostración editar

Utilizaremos el teorema del cambio de variable, definimos

 

La función de densidad conjunta de   y   está dada por

 

como   y   entonces el Jacobiano de la transformación está dado por

 

La función de densidad conjunta de   está determinada por

 

y como la densidad marginal de   está dada por

 

entonces

 

que corresponde a la función de densidad de una variable aleatoria con distribución  , por lo tanto

 

A partir de una muestra con distribución normal editar

Sean   una muestra aleatoria de la distribución   y   una muestra aleatoria de la distribución   donde ambas muestras son independientes entre sí, se tiene que

 
 

entonces

 

y por el teorema anterior

 

Distribuciones Relacionadas editar

  • Si   entonces   tiene una distribución chi cuadrada  .
  • Si   y   son independientes entonces  .
  • Si   entonces  .
  • Si   entonces  .
  • Si  Distribución t de Student — entonces :  
  • Si   y   son independientes entonces  .

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