Distribución gamma
En teoría de probabilidad y Estadística, la distribución gama es una distribución con dos parámetros que pertenece a las distribuciones de probabilidad continuas. La distribución exponencial, distribución de Erlang y la distribución χ² son casos particulares de la distribución gama. Hay dos diferentes parametrizaciones que suelen usarse
- Con parámetro de forma y parámetro de escala .
- Con parámetro de forma y parámetro inverso de escala .
Gama | ||
---|---|---|
Parámetros |
forma (real) escala (real) | |
Dominio | ||
Función de densidad (pdf) | ||
Función de distribución (cdf) | ||
Media | ||
Moda | , | |
Varianza | ||
Entropía | ||
Función generadora de momentos (mgf) | ||
Función característica | ||
Definición editar
Notación editar
Si una variable aleatoria continua tiene distribución gama con parámetros y entonces escribiremos .
Función de Densidad editar
Si entonces su función de densidad es
para donde
es la función gama y satisface
- Para cualquier se cumple que
- Si entonces
- Si entonces
Función de Densidad Acumulada editar
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria está dada por
Si es una variable aleatoria tal que donde (es decir, tiene una distribución de Erlang) entonces su función de distribución acumulada está dada por
Propiedades editar
Si es una variable aleatoria tal que entonces satisface algunas propiedades.
Media editar
La media de la variable aleatoria es:
Varianza editar
La varianza de la variable aleatoria es
Momentos editar
El -ésimo momento de la variable aleatoria es
para .
Función generadora de momentos editar
La función generadora de momentos está dada por
para .
Suma de Gamas editar
Si para son variables aleatorias independientes entonces
Escalar editar
Si entonces para cualquier
Media Logarítmica editar
Puede demostrarse que
donde es la función digamma.
Cálculo de Probabilidades en R editar
Se puede utilizar R (lenguaje de programación) para hallar los valores de la función de densidad y la función de distribución de una variable aleatoria continua .
Función de densidad editar
Para , la función de densidad de la distribución Gama está dada por
entonces para evaluar la función de densidad utilizamos el siguiente código
# d=density function
dgamma(x,α,λ)
Función de Distribución editar
La función de distribución acumulada de la distribución Gamma está dada por
para , se puede utilizar el siguiente código para evaluar al función de distribución acumulada
# p=probability distribution function
pgamma(x,α,λ)
Distribuciones Relacionadas editar
- Si son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que entonces , a esta distribución se le conoce como distribución de Erlang y es un caso particular de la distribución gama cuando el parámetro .
- Si entonces .
- Si con entonces .
Véase también editar
Enlaces externos editar
- Weisstein, Eric W. «GammaDistribution». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- [1] Archivado el 13 de abril de 2020 en Wayback Machine. Calcular la probabilidad de una distribución Gamma con R (lenguaje de programación)