Fórmulas de Newton-Cotes

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En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral.

Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.

Introducción editar

Para la integración numérica de   utilizando las fórmulas de Newton-Cotes se subdivide el intervalo   en   intervalos iguales. Así se obtienen   puntos donde se evaluará la función:

 

Si   y   se denominan fórmulas cerradas de Newton-Cotes ya que los intervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario no se tienen en cuenta se denominan fórmulas abiertas de Newton-Cotes. Para el cálculo se utilizará la siguiente función:

 

donde:

 

es el polinomio de Lagrange, por lo tanto se deduce que

 

Esta función se expresa de la siguiente forma

 

Donde los "pesos" wi están definidos por

 

Fórmulas cerradas de Newton-Cotes editar

Estas son algunas de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.

La notación   es una abreviatura de  , con    ,       y     el grado.

Regla del trapecio editar

 
Ilustración de la regla del trapecio.

La regla del trapecio consiste en hallar la integral aproximada de una función a través de un polinomio de primer grado, es decir uniendo mediante una recta los puntos en donde se evaluara la función.

 

Y el error es:

 

Siendo   un número entre a y b.

Regla de Simpson editar

 
Ilustración de la regla de Simpson.

La regla de Simpson (nombrada así por Thomas Simpson) halla la integral aproximada de una función mediante un polinomio de segundo o tercer grado.

Regla de Simpson 1/3 editar

La regla de Simpson 1/3 utiliza tres puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de segundo grado.

 

Y el error es:

 

siendo   un número entre a y b.

Regla de Simpson 3/8 editar

La regla de Simpson 3/8 utiliza cuatro puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de tercer grado.

 .

Y el error es:

 

Siendo   un número entre a y b.

Regla de Boole editar

La regla de Boole (llamada así debido a George Boole) utiliza cinco puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de cuarto grado.

 

Y el error es:

 

Siendo   un número entre a y b.

Regla de quinto orden editar

La regla de quinto orden utiliza seis puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de quinto grado.

 

Regla de Sexto orden editar

La regla de sexto orden utiliza siete puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de sexto grado.

 

Fórmulas abiertas de Newton-Cotes editar

Estas son algunas de las fórmulas abiertas de Newton-Cotes.

Regla del punto medio -Integración de Riemann editar

 
Ilustración de la regla del punto medio.

En este método se divide la función en rectángulos, los cuales deben tener una altura igual al valor de la función en el punto medio. Así se calcularía la integral aproximada mediante un polinomio de grado cero.

 

Y el error es:

 

Siendo   un número entre a y b.

Reglas compuestas editar

Las fórmulas de Newton-Cotes aumentan su precisión si se aumenta el número de intervalos en que se divida la función, dicho de otra forma mientras los intervalos sean cada vez más pequeños. Como el intervalo   generalmente es grande hay métodos que subdividen este intervalo en subintervalos más pequeños y a estos se les aplica las Fórmulas de Newton-Cotes, a la suma de estos subintervalos se le conoce como reglas compuestas. Cabe anotar que la precisión aumenta pero a costa de disminuir la eficiencia del método en cuanto al tiempo de duración y a posibles errores de redondeo.

Regla del trapecio compuesta editar

Este es un ejemplo de regla compuesta.

 

Donde       son los subintervalos,

tal que       y    

siendo:       la distancia entre los subintervalos.

Referencias editar

  • Programación y Métodos Numéricos: Integración Numérica, Fórmulas de Newton-Cotes, Fórmulas de Gauss. Prof. Carlos Conde Lázaro Prof. Arturo Hidalgo López Prof. Alfredo López. Marzo de 2007. Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos – ETSIM - UPM

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