En matemáticas , una función homogénea [ 1] es una función tal que, si todos sus argumentos se multiplican por un escalar , entonces su valor se multiplica por alguna potencia de este escalar, llamado grado de homogeneidad , o simplemente el grado ; es decir, si k es un número entero, una función f de variables n es homogénea de grado k si
f ( s x 1 , … , s x n ) = s k f ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle f(sx_{1},\ldots ,sx_{n})=s^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n})} para cada x 1 , … , x n , {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},} y s ≠ 0. {\displaystyle s\neq 0.}
Expresado de otra manera, es una función que presenta un interesante comportamiento multiplicativo de escala: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea (véase Definición formal ).
Definición formal
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Las funciones lineales
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Cualquier función lineal f : V → W {\displaystyle f:V\rightarrow W\,} es homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene:
f ( α v ) = α f ( v ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}
para todo α ∈ F {\displaystyle \alpha \in F} y v ∈ V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} . Del mismo modo, cualquier función multilineal f : V 1 × … × V n → W {\displaystyle f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W} es homogénea de grado n , por definición.
f ( α v 1 , … , α v n ) = α n f ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}
para todo α ∈ F {\displaystyle \alpha \in F} y v 1 ∈ V 1 , … , v n ∈ V n {\displaystyle \mathbf {v} _{1}\in V_{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V_{n}} . Se sigue que la n -ésima derivada de Fréchet de una función f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} entre dos espacios de Banach X {\displaystyle X\,} y Y {\displaystyle Y\,} es homogénea de grado n {\displaystyle n\,} .
Polinomios homogéneos
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Los monomios de n {\displaystyle n} variables reales definen funciones homogéneasf : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } . Por ejemplo,
f ( x , y , z ) = x 5 y 2 z 3 {\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}
es homogénea de grado 10 puesto que:
f ( α x , α y , α z ) = ( α x ) 5 ( α y ) 2 ( α z ) 3 = α 10 x 5 y 2 z 3 = α 10 f ( x , y , z ) {\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z)\,}
Un polinomio homogéneo es un polinomio tal que todos sus términos tienen el mismo grado. Por ejemplo,
x 5 + 2 x 3 y 2 + 9 x y 4 {\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}\,}
es un polinomio homogéneo de grado 5.
Supongamos que una función f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } es infinitamente diferenciable . Entonces f es homogénea de grado k si y sólo si:
x ⋅ ∇ f ( x ) = k f ( x ) {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )} .
Teorema: Sea f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } es diferenciable y homogénea de grado k . Entonces sus derivadas parciales de primer orden ∂ f / ∂ x i {\displaystyle \partial f/\partial x_{i}} son funciones homogéneas de grado k -1. es decir ∂ ∂ x i f ( α x ) = α k − 1 ∂ ∂ x i f ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}
Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler.
Demostración
Sea x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbf {R} ^{n}} y la función f ( x 1 , x 2 , . . . x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})} homogénea.
Por homogeneidad de la funciónf {\displaystyle f} se sabe que
f ( α x ) = α k f ( x ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}
Se define y ∈ R n {\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}} como y = α x {\displaystyle y=\alpha x} .
Reemplazando la y {\displaystyle \mathbf {y} } en la expresión anterior nos queda:
f ( y ) = α k f ( x ) {\displaystyle f(\mathbf {y} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}
Se deriva ambos lados de la igualdad con respecto a x i {\displaystyle x_{i}\,}
∂ ∂ x i f ( y ) = ∂ ∂ x i α k f ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}
por regla de la cadena la expresión se vuelve:
∂ ∂ y i f ( y ) ∂ y i ∂ x i = α k ∂ ∂ x i f ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ){\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{i}}}=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}
Sustituyendo nuevamente y = α x {\displaystyle y=\alpha x} :
∂ ∂ y i f ( α x ) ∂ ( α x i ) ∂ x i = α k ∂ ∂ x i f ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {\alpha x} ){\frac {\partial (\alpha x_{i})}{\partial x_{i}}}=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}
∂ ∂ x i f ( α x ) α = α k ∂ ∂ x i f ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {\alpha x} )\alpha =\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}
y finalmente da el resultado que se quiere obtener:
∂ ∂ x i f ( α x ) = α k − 1 ∂ ∂ x i f ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}
Aplicación a las EDOs
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La substitución v = y / x {\displaystyle v=y/x} convierte la ecuación diferencial ordinaria (EDO)
I ( x , y ) d y d x + J ( x , y ) = 0 , {\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}
Donde I {\displaystyle I\,} y J {\displaystyle J\,} son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable:
x d v d x = − J ( 1 , v ) I ( 1 , v ) − v {\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v}
Bibliografía
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Blatter, Christian (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Analysis II (2nd ed.) (en alemán) . Springer Verlag. p. 188. ISBN 3-540-09484-9 . Enlaces externos
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