Un grupoide de Lie es un grupoide donde ambos, el grupoide y el espacio base son variedades y las funciones origen y final son funciones diferenciables cuya diferencial es suryectiva, es decir son sumersiones suryectivas. Esta definición generaliza la de grupo de Lie: los grupos de Lie son los grupoides de Lie donde el espacio base es trivial.

Definición editar

  • Un grupoide de Lie es un   grupoide con base   tal que
    •  ,   son variedades diferenciales.
    •  , las aplicaciones origen y final, son sumersiones sobreyectivas.
    •  , la aplicación unidad, es diferenciable.
    • La multiplicación   es diferenciable.

Observar que si denotamos   la diagonal de  , entonces  . Como   es una sumersión suryectiva, por el teorema de la función inversa obtenemos que   es una subvariedad incrustada y cerrada de   y hereda su estructura diferenciable. Esto nos dice que tiene sentido hablar de que el producto o multiplicación es diferenciable.

Ejemplos editar

  • Sea   un fibrado vectorial y   es lineal  , es decir todas las transformaciones lineales entre fibras. Si  , definimos  , el origen de   y  , el destino de  . Claramente   Si  , la composición   sólo tiene sentido si  . Si se define   Entonces existe un producto   definido como arriba. De esta forma   es un grupoide con base  , donde   son las aplicaciones origen y final, respectivamente y la identidad es el isomorfismo identidad en cada fibra.
  • Sea   una variedad diferenciable y   un grupo de Lie. Entonces el grupoide trivial   es un grupoide de Lie.