Identidad de Parseval

En álgebra, la identidad de Parseval, también conocida como la igualdad de Parseval, es una generalización del teorema de Pitágoras aplicado a los espacios de Hilbert separables. Si B es una base ortonormal en un espacio vectorial producto interno de dimensión finita $q$, entonces

$\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle =\sum _{i=1}^{q}\left|\langle v_{i},x\rangle \right|^{2}$

El nombre procede de la relación de Parseval para las series de Fourier, que es un caso especial.

La identidad de Parseval se puede demostrar mediante el teorema de Riesz-Fischer.

Demostración

Sea $B=\{v_{1},v_{2},...,v_{q}\}$ una base ortogonal de un espacio producto interno $\mathrm {V_{\mathbb {K} }}$ de cuerpo $\mathbb {K}$, ${\bigl (}\mathbb {K} =\mathbb {R}$ o $\mathbb {K} =\mathbb {C} {\bigr )}$

Se demuestra que $\forall x\in \mathrm {V_{\mathbb {K} }}$:

$x=\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}v_{i}$

entonces $\alpha _{i}={\frac {\langle x,v_{i}\rangle }{||v_{i}||^{2}}}$ , con $i=1,2,...,q$

donde $\alpha _{i}$ son las coordenadas en base $B$ del vector $x$. Entonces

$x=\sum _{i=1}^{q}{\frac {\langle x,v_{i}\rangle }{||v_{i}||^{2}}}v_{i}$

Si la base $B$ es ortonormal, $||v_{i}||=1$, entonces resulta:

$x\doteq \sum _{i=1}^{q}{\langle x,v_{i}\rangle }{}v_{i}$

Para este caso, puede calcularse:

${\begin{aligned}||x||^{2}&=\langle x,x\rangle \\&=\langle \sum _{i=1}^{q}\langle x,v_{i}\rangle v_{i},\sum _{i=1}^{q}\langle x,v_{i}\rangle v_{i}\rangle \\&=\langle \langle v_{1},x\rangle v_{1},\langle v_{1},x\rangle v_{1}\rangle +\langle \langle v_{2},x\rangle v_{2},\langle v_{2},x\rangle v_{2}\rangle +\cdots +\langle \langle v_{q},x\rangle v_{q},\langle v_{q},x\rangle v_{q}\rangle \end{aligned}}$

Por dos de los axiomas del producto interno, $(x,zy)={\bar {z}}(x,y)$, con $z\in \mathbb {K}$ y $(x,y)={\overline {(y,x)}}$

resulta $(z'x,zy)={\overline {z'{\bar {z}}(y,x)}}=z{\bar {z'}}{\overline {(y,x)}}$ con $z$ y $z'\in \mathbb {K}$ , entonces:

$||x||^{2}={\Bigl (}{\overline {(v_{1},x)}}(v_{1},x)(v_{1},v_{1}){\Bigr )}+{\Bigl (}{\overline {(v_{2},x)}}(v_{2},x)(v_{2},v_{2}){\Bigr )}+...+{\Bigl (}{\overline {(v_{q},x)}}(v_{q},x)(v_{q},v_{q}){\Bigr )}$

Como $(v_{i},v_{i})=||v_{i}||^{2}$, y la base $B$ es ortonormal $\Rightarrow ||v_{i}||=1$.

Además, usando la propiedad de los número complejos, $z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}$, con $z\in \mathbb {K}$ entonces:

$||x||^{2}=|(v_{1},x)|^{2}+|(v_{2},x)|^{2}+\cdots +|(v_{q},x)|^{2}$

quedando entonces la expresión

$\|x\|^{2}=\sum _{i=1}^{q}\left|(v_{i},x)\right|^{2}$

Relación con series de Fourier

Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a las series de Fourier, tanto en forma compleja como real.

Forma compleja (o exponencial):

${\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^{2}\mathrm {d} x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}$

Forma real (o trigonométrica):

${\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^{2}\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})$

Siendo $T$ el periodo y $c_{n}$, $a_{n}$, $b_{n}$ los coeficientes de Fourier complejos y reales respectivamente. (Aquí se utiliza la convención de que ${\textstyle a_{0}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(x)\mathrm {d} x}$, en otro caso el coeficiente de $a_{0}^{2}$ será diferente).

Véase también

• Serie de Fourier
• Desigualdad de Bessel

Referencias

• Johnson & Riess; Numerical Analysis. ISBN 0-201-10392-3.; apuntes teóricos personales de Álgebra II - Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, Argentina

• Datos: Q944238