En matemáticas , la integral de Gauss , integral gaussiana o integral de probabilidad , es la integral impropia de la función gaussiana f ( x ) = e − x 2 {\displaystyle f(x)=e^{{-x}^{2}}} Carl Friedrich Gauss , y su valor es:
Función gaussiana e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} área encerrada bajo esa curva con el eje x es ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}} ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}} Esta integral tiene amplias aplicaciones, incluyendo normalización , en teoría de la probabilidad y transformada continua de Fourier . También aparece en la definición de la función error . No existe ninguna función elemental para la función error, como se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch , por lo que la integral Gaussiana no puede ser resuelta analíticamente con las herramientas del cálculo. O sea, no existe una integral indefinida elemental para
∫ e − x 2 d x {\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx} pero sí es posible evaluar la integral definida
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx} Cálculo de la Integral
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Coordenadas Polares
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La forma más común de calcular la integral de Gauss es mediante integración doble en el sistema cartesiano de coordenadas , para después hacer un cambio de coordenadas a coordenadas polares y calcular el valor. Se procede de la siguiente manera:
Se define
I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x {\displaystyle {\mathcal {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx} como la integral que queremos calcular. Podemos definir I 2 {\displaystyle {\mathcal {I}}^{2}} I {\displaystyle {\mathcal {I}}} Teorema de Fubini podemos expresar la integral como
I 2 = ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ⋅ ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y = ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) e − y 2 d y = ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x ) d y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∬ R 2 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}^{2}&={\Biggl (}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx{\Biggr )}^{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}dy\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\Biggl (}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx{\Biggr )}e^{-y^{2}}dy\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\Biggl (}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dx{\Biggr )}dy\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy\\&=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy.\end{aligned}}} Procedemos a realizar un cambio de variables a coordenadas a polares:
∬ R 2 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ r e − r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 ∞ r e − r 2 d r = 2 π ∫ 0 ∞ r e − r 2 d r = 2 π ∫ − ∞ 0 1 2 e s d s = π ∫ − ∞ 0 e s d s = π ( e 0 − e − ∞ ) = π ( 1 − 0 ) = π {\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dxdy&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}drd\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}dr\\&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}dr\\&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\frac {1}{2}}e^{s}ds\\&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\&=\pi (e^{0}-e^{-\infty })\\&=\pi (1-0)\\&=\pi \end{aligned}}} donde el factor r {\displaystyle r} determinante del cambio de variable de coordenadas cartesianas a polares, y s {\displaystyle s} cambio de variable tal que s = − r 2 {\displaystyle s=-r^{2}} d s = − 2 r d r {\displaystyle ds=-2rdr}
I 2 = ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 = ∬ R 2 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = π {\displaystyle {\mathcal {I}}^{2}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy=\pi } por lo tanto
I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle {\mathcal {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}} Coordenadas Cartesianas
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Una técnica diferente para calcular el valor de la integral gaussiana es la siguiente.
Comencemos definiendo
I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x {\displaystyle {\mathcal {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx} por lo que
I 2 = ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 {\displaystyle {\mathcal {I}}^{2}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)^{2}} Notemos que el integrando, es decir f ( x ) = e − x 2 {\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}} función par por lo que
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx} entonces
I 2 = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d y d x {\displaystyle {\mathcal {I}}^{2}=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dydx} Sea
y = x s d y = x d s {\displaystyle {\begin{aligned}y&=xs\\dy&=xds\end{aligned}}} entonces
I 2 = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d y d x = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( x 2 + x 2 s 2 ) x d s d x = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + s 2 ) x d s d x = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + s 2 ) x d x d s = 4 ∫ 0 ∞ [ − 1 2 ( 1 + s 2 ) e − x 2 ( 1 + s 2 ) | x = 0 x = ∞ ] d s = 4 [ 1 2 ∫ 0 ∞ d s 1 + s 2 ] = 2 arctan s | 0 ∞ = π {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dydx\\&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+x^{2}s^{2})}xdsdx\\&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}xdsdx\\&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}xdxds\\&=4\int _{0}^{\infty }\left[\left.{\frac {-1}{2(1+s^{2})}}e^{-x^{2}(1+s^{2})}\right|_{x=0}^{x=\infty }\right]ds\\&=4\left[{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\right]\\&=2\arctan s{\bigg |}_{0}^{\infty }\\&=\pi \end{aligned}}} Por lo tanto
I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle {\mathcal {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}} Relación con la función Gamma
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La función gamma está dada por
Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ t α − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt} y un resultado destacado de esta función es cuando α = 1 / 2 {\displaystyle \alpha =1/2}
Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}} considerando este resultado veamos qué relación tiene con la integral gaussiana, comencemos considerando que
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx} pues f ( x ) = e − x 2 {\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}} función par .
Al hacer el cambio de variable t = x 2 {\displaystyle t=x^{2}}
x = t 1 / 2 d x = 1 2 t − 1 / 2 d t {\displaystyle {\begin{aligned}x&=t^{1/2}\\dx&={\frac {1}{2}}t^{-1/2}dt\end{aligned}}} entonces
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − t ( 1 2 t − 1 / 2 ) d t = ∫ 0 ∞ e − t t − 1 / 2 d t = ∫ 0 ∞ t ( 1 − 1 2 ) − 1 e − t d t = Γ ( 1 − 1 2 ) = Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx&=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx\\&=2\int _{0}^{\infty }e^{-t}\left({\frac {1}{2}}t^{-1/2}\right)dt\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{-1/2}dt\\&=\int _{0}^{\infty }t^{\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-1}e^{-t}dt\\&=\Gamma \left(1-{\frac {1}{2}}\right)\\&=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\\&={\sqrt {\pi }}\end{aligned}}} Esto muestra por qué el factorial de la mitad de un entero es un número irracional múltiplo de π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}}
∫ 0 ∞ e − a x b d x = a − 1 / b Γ ( 1 − 1 b ) . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax^{b}}dx=a^{-1/b}\,\Gamma \left(1-{\frac {1}{b}}\right).} Generalizaciones
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Integral de una función gaussiana
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La integral de una función Gaussiana arbitraria es
∫ − ∞ ∞ e − a ( x + b ) 2 d x = π a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}} con a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
∫ − ∞ ∞ e − a x 2 + b x + c d x = π a e b 2 4 a + c {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{{\frac {b^{2}}{4a}}+c}} Esta expresión es útil para calcular momentos de algunas distribuciones de probabilidad continuas relacionadas con la distribución normal , como la distribución log-normal .
Integrales de forma similar
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∫ 0 ∞ x 2 n e − x 2 a 2 d x = π a 2 n + 1 ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n + 1 ∫ 0 ∞ x 2 n + 1 e − x 2 a 2 d x = n ! 2 a 2 n + 2 ∫ 0 ∞ x 2 n e − a x 2 d x = ( 2 n − 1 ) ! ! a n 2 n + 1 π a ∫ 0 ∞ x 2 n + 1 e − a x 2 d x = n ! 2 a n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}dx={\sqrt {\pi }}\;{\frac {a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}}\\&\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}dx={\frac {n!}{2}}\;a^{2n+2}\\&\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}dx={\frac {(2n-1)!!}{a^{n}2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\\&\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}\end{aligned}}} donde n {\displaystyle n} ! ! {\displaystyle !!} doble factorial .
Véase también
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![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dydx\\&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+x^{2}s^{2})}xdsdx\\&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}xdsdx\\&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}xdxds\\&=4\int _{0}^{\infty }\left[\left.{\frac {-1}{2(1+s^{2})}}e^{-x^{2}(1+s^{2})}\right|_{x=0}^{x=\infty }\right]ds\\&=4\left[{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\right]\\&=2\arctan s{\bigg |}_{0}^{\infty }\\&=\pi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b33af09aa7e7f6c7f8dc8584d9cca98cc7cb18)
Datos: Q1060321