Mapeado Schwarz-Christoffel

En análisis complejo, un mapeado Schwarz–Christoffel es una transformación conforme del semiplano superior por el interior de un polígono simple. El mapeado Schwarz–Christoffel se utiliza en teoría del potencial y en algunas de sus implicaciones, incluyendo superficies mínimas y dinámica de fluidos. Fue denominado así por Elwin Bruno Christoffel y Hermann Amandus Schwarz.

Definición

Considera un polígono en el plano complejo. El Teorema de representación conforme de Riemann implica que hay un mapeado biyectivo biholomórfico f desde el semiplano superior

$\{\zeta \in \mathbb {C} :\operatorname {Im} \,\zeta >0\}$

hacia el interior del polígono. La función f mapea el eje real hacia los límites del polígono. Si el polígono tiene ángulos interiores $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$, entonces ese mapeado está dado por

$f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-a)^{1-(\alpha /\pi )}(w-b)^{1-(\beta /\pi )}(w-c)^{1-(\gamma /\pi )}\cdots }}\,{\mbox{d}}w$

donde $K$ es una constante, y $a<b<c<...$ son los valores, junto al eje real del plano $\zeta$, de puntos correspondientes a los vértices del polígono en el plano $z$. Una transformación de esta forma es llamada un Mapeo Schwarz–Christoffel.

Usualmente es conveniente considerar el caso en el cual el punto del infinito del plano $\zeta$ mapea hacia uno de los vértices del plano $z$ del polígono (convencionalmente el vértice con ángulo $\alpha$). Si esto sucede, el primer factor de la fórmula es efectivamente una constante y puede considerarse como absorbida dentro de la constante $K$.

• Datos: Q769569
• Multimedia: Schwarz–Christoffel mapping / Q769569