Oscilador de van der Pol

En sistemas dinámicos, el oscilador de van der Pol es un oscilador con amortiguamiento no lineal. Su evolución temporal obedece a una ecuación diferencial de segundo orden:

Plano de fases de un oscilador de van der Pol no forzado.

Evolución del ciclo límite en el plano de fase.

${d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0$

en la que x es la posición, función del tiempo t, y μ es un parámetro escalar que gobierna la no linealidad y el amortiguamiento.

Historia

El oscilador de van der Pol fue descrito por el ingeniero y físico Balthasar van der Pol mientras trabajaba en Philips.​ Van der Pol encontró oscilaciones estables, que llamó oscilaciones de relajación,​ conocidas en la actualidad como ciclos límite, en circuitos que usaban válvulas de vacío. Cuando esos circuitos se hacen funcionar cerca del ciclo límite entran en acoplamiento y la señal entra en fase con la corriente. Van der Pol y su colega, van der Mark, informaron en el número de septiembre de 1927 de Nature​ que para determinadas frecuencias aparecía un ruido irregular, siempre cerca de las frecuencias de acoplamiento. Fue uno de los primeros descubrimientos experimentales de la Teoría del caos.​

La ecuación de van der Pol tiene una larga historia en física y biología. Por ejemplo, en biología, Fitzhugh​ y Nagumo​ aplicaron la ecuación a un campo bidimensional en el modelo de FitzHugh-Nagumo para describir el potencial de acción de las neuronas. También se ha usado en sismología para modelar el comportamiento de dos placas en una falla.​

Forma bidimensional

El teorema de Liénard prueba que el sistema tiene un ciclo límite. Aplicando la transformación de Liénard $y=x-x^{3}/3-{\dot {x}}/\mu$, donde el '.' indica derivada, la ecuación se puede escribir en forma bidimensional:​

${\dot {x}}=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)$

${\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x.$

Resultados del oscilador no forzado

Oscilador de van der Pol sin excitación externa. El parámetro de amortiguamiento no lineal es μ = 5.

Hay dos regímenes de funcionamiento interesantes para el oscilador no forzado:​

• Cuando μ = 0, no hay amortiguamiento, y la ecuación queda:

${d^{2}x \over dt^{2}}+x=0.$

Es la fórmula del oscilador armónico simple sin pérdida de energía.

• Cuando μ > 0, el sistema alcanzará un ciclo límite, en el que se conservará la energía. Cerca del origen x = dx/dt = 0 el sistema es inestable, y lejos del origen hay amortiguamiento.

El oscilador de van der Pol forzado

Comportamiento caótico en el oscilador de van der Pol con excitación sinusoidal. μ = 8.53, mientras que la excitación externa tiene amplitud A = 1.2 y frecuencia angular ω = 2π / 10.

Utilizando una fuente de excitación sinusoidal Asin(ωt) la ecuación diferencial queda:

${d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x-A\sin(\omega t)=0,$

en la que A es la amplitud de la ecuación de onda y ω su velocidad angular.

Enlaces externos

• Oscilador de van der Pol oscillator en Scholarpedia
• Oscilador de Van Der Pol Oscillator interactivo Archivado el 14 de febrero de 2017 en Wayback Machine.
• There's No Quiet Without Noise, New York Times

• Datos: Q2081515
• Multimedia: Van der Pol oscillator / Q2081515