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Sólido de Johnson

poliedro convexo, cada una de cuyas caras es un polígono regular

En geometría, un sólido de Johnson es un poliedro estrictamente convexo, y cada una de sus caras es un polígono regular. Por otra parte, no es uno de los sólidos platónicos, ni uno de los sólidos arquimedianos, ni un prisma ni un antiprisma. No se requiere que todas las caras sean un mismo polígono, o que polígonos del mismo tipo se unan por los vértices. Un ejemplo de sólido de Johnson es la pirámide de base cuadrada con lados equiláteros J1, que presenta una cara cuadrada y cuatro triangulares.

La girobicúpula cuadrada elongada (J37), un sólido de Johnson.
Este ejemplo de 26 vértices no es un sólido de Johnson porque no es estrictamente convexo (tiene ángulos diedros de 180°).
Este ejemplo de estrella octángula no es un sólido de Johnson porque no es convexo.

En un sólido convexo estricto, al menos tres caras concurren a un vértice, y el total de sus ángulos es menor a 360°. Dado que un polígono regular tiene ángulos de al menos 60°, a lo sumo pueden concurrir cinco caras en cada vértice. La pirámide de base pentagonal (J2) es un ejemplo de grado 5 (máximo).

Aunque no existen restricciones respecto a que un determinado polígono forme una cara de un sólido de Johnson, los polígonos aplicables siempre tienen 3, 4, 5, 6, 8 o 10 lados.

Historia editar

En 1966 el matemático norteamericano Norman Johnson publicó una lista de 92 sólidos, dándoles nombre y número. Aunque no probó la imposibilidad de que existieran otros sólidos, hizo tal conjetura, y en 1969 Victor Zalgaller demostró que la lista era completa.

Entre los sólidos enumerados, la girobicúpula cuadrada elongada (J37) resulta única por tener vértices uniformes; cuatro caras concurren a cada vértice y su disposición es siempre la misma: tres cuadrados y un triángulo.

Nomenclatura editar

Los nombres listados son más descriptivos de lo que pueda parecer a simple vista. La mayoría de los sólidos de Johnson pueden construirse añadiendo una o más pirámides, cúpulas o rotondas en una de las caras de un prisma o antiprisma.

  • Se denomina cúpula al poliedro que tiene dos polígonos regulares paralelos, unidos lateralmente por triángulos equiláteros y cuadrados alternándose unos y otros.
  • La rotonda dispone también, como la cúpula, de dos polígonos regulares paralelos, pero se unen lateralmente por triángulos y pentágonos alternados.

Junto a estos tres poliedros se pueden utilizar para la construcción de los sólidos de Johnson; los sólidos platónicos, de Arquímedes, prismas y antiprismas.

El modo en que se combinan los distintos sólidos, se reflejan en su nombre mediante los siguientes términos y sufijos:

  • Bi- significa que hay dos copias de un sólido dado unidas base con base. En el caso de las cúpulas y rotondas, se pueden unir de manera que se encuentren caras similares (orto-) o disimilares (giro-). Según esta nomenclatura, un octaedro sería una bipirámide cuadrada, un cuboctaedro sería una girobicúpula triangular y un icosidodecaedro sería una girobirrotonda pentagonal.
  • Elongado significa que se ha unido un prisma a la base de un sólido dado o entre las bases que forman un sólido dado. Según esta nomenclatura, un rombicuboctaedro sería una ortobicúpula cuadrada elongada.
  • Giroelongado significa que se ha unido un antiprisma a la base de un sólido dado o entre las bases que forman un sólido dado. Un icosaedro sería una bipirámide pentagonal giroelongada.
  • Aumentado significa que se ha unido una pirámide o cúpula a una de las caras del sólido dado.
  • Disminuido significa que se ha quitado una pirámide o cúpula de un sólido dado.
  • Giroide significa que se ha rotado una cúpula del sólido de forma que encaje de forma distinta. Un ejemplo está en la diferencia entre las orto- y las girobicúpulas.

Las tres últimas operaciones — aumento, disminución y giro — se pueden realizar más de una vez en un sólido lo suficientemente grande. Si se ha realizado una de estas operaciones dos veces, se indica con el prefijo bi- (por ejemplo, un bigiroide es un sólido que tiene dos de sus cúpulas rotadas); y si se ha realizado tres veces se indica con el prefijo tri- (por ejemplo, un sólido tridisminuido es aquel al que se le han quitado tres de sus pirámides o cúpulas).

A veces los prefijos bi- y tri- dan lugar a ambigüedad. En el caso de que sea necesario distinguir entre un sólido al que se han alterado dos caras paralelas y uno al que se han alterado dos caras oblicuas, se indica la diferencia con los prefijos para- y meta-, respectivamente. Por ejemplo, un sólido parabiaumentado es aquel al que se han aumentado dos caras paralelas, mientras que a un sólido metabiaumentado se le han aumentado dos caras oblicuas.

Enumeración editar

º
Jn Nombre Desarrollo Imagen Vértices Aristas Caras Caras según número de lados Simetría Grupo
F3 F4 F5 F6 F8 F10
1 Pirámide cuadrada     5 8 5 4 1 C4v Prismatoides y rotondas
2 Pirámide pentagonal     6 10 6 5 1 C5v
3 Cúpula triangular     9 15 8 4 3 1 C3v
4 Cúpula cuadrada     12 20 10 4 5 1 C4v
5 Cúpula pentagonal     15 25 12 5 5 1 1 C5v
6 Rotonda pentagonal     20 35 17 10 6 1 C5v
7 Pirámide triangular elongada (o tetraedro elongado)     7 12 7 4 3 C3v Pirámides modificadas y bipirámides
8 Pirámide cuadrada elongada (o cubo aumentado)     9 16 9 4 5 C4v
9 Pirámide pentagonal elongada     11 20 11 5 5 1 C5v
10 Pirámide cuadrada giroelongada     9 20 13 12 1 C4v
11 Pirámide pentagonal giroelongada (o icosaedro disminuido)     11 25 16 15 1 C5v
12 Bipirámide triangular     5 9 6 6 D3h
13 Bipirámide pentagonal     7 15 10 10 D5h
14 Bipirámide triangular elongada     8 15 9 6 3 D3h
15 Bipirámide cuadrada elongada
(o cubo biaumentado) 		    10 20 12 8 4 D4h
16 Bipirámide pentagonal elongada     12 25 15 10 5 D5h
17 Bipirámide cuadrada giroelongada     10 24 16 16 D4d
18 Cúpula triangular elongada     15 27 14 4 9 1 C3v Cúpulas y rotondas modificadas
19 Cúpula cuadrada elongada
(Rombicuboctaedro disminuido) 		    20 36 18 4 13 1 C4v
20 Cúpula pentagonal elongada     25 45 22 5 15 1 1 C5v
21 Rotonda pentagonal elongada     30 55 27 10 10 6 1 C5v
22 Cúpula triangular giroelongada     15 33 20 16 3 1 C3v
23 Cúpula cuadrada giroelongada     20 44 26 20 5 1 C4v
24 Cúpula pentagonal giroelongada     25 55 32 25 5 1 1 C5v
25 Rotonda pentagonal giroelongada     30 65 37 30 6 1 C5v
26 Girobifastigium     8 14 8 4 4 D2d
27 Ortobicúpula triangular
(Cuboctaedro girado) 		    12 24 14 8 6 D3h
28 Ortobicúpula cuadrada     16 32 18 8 10 D4h
29 Girobicúpula cuadrada     16 32 18 8 10 D4d
30 Ortobicúpula pentagonal     20 40 22 10 10 2 D5h
31 Girobicúpula pentagonal     20 40 22 10 10 2 D5d
32 Ortocupularrotonda pentagonal     25 50 27 15 5 7 C5v
33 Girocupularrotonda pentagonal     25 50 27 15 5 7 C5v
34 Ortobirrotonda pentagonal
(Icosidodecaedro girado) 		    30 60 32 20 12 D5h
35 Ortobicúpula triangular elongada     18 36 20 8 12 D3h
36 Girobicúpula triangular elongada     18 36 20 8 12 D3d
37 Girobicúpula cuadrada elongada
(Rombicuboctaedro girado) 		    24 48 26 8 18 D4d
38 Ortobicúpula pentagonal elongada     30 60 32 10 20 2 D5h
39 Girobicúpula pentagonal elongada     30 60 32 10 20 2 D5d
40 Ortocupularrotonda pentagonal elongada     35 70 37 15 15 7 C5v
41 Girocupularrotonda pentagonal elongada     35 70 37 15 15 7 C5v
42 Ortobirrotonda pentagonal elongada     40 80 42 20 10 12 D5h
43 Girobirrotonda pentagonal elongada     40 80 42 20 10 12 D5d
44 Bicúpula triangular giroelongada
(2 formas asimétricas) 		    18 42 26 20 6 D3
45 Bicúpula cuadrada giroelongada
(2 formas asimétricas) 		    24 56 34 24 10 D4
46 Bicúpula pentagonal giroelongada
(2 formas asimétricas) 		    30 70 42 30 10 2 D5
47 Cupularrotonda pentagonal giroelongada
(2 formas asimétricas) 		    35 80 47 35 5 7 C5
48 Birrotonda pentagonal giroelongada
(2 formas asimétricas) 		    40 90 52 40 12 D5
49 Prisma triangular aumentado     7 13 8 6 2 C2v Prismas aumentados
50 Prisma triangular biaumentado     8 17 11 10 1 C2v
51 Prisma triangular triaumentado     9 21 14 14 D3h
52 Prisma pentagonal aumentado     11 19 10 4 4 2 C2v
53 Prisma pentagonal biaumentado     12 23 13 8 3 2 C2v
54 Prisma hexagonal aumentado     13 22 11 4 5 2 C2v
55 Prisma hexagonal parabiaumentado     14 26 14 8 4 2 D2h
56 Prisma hexagonal metabiaumentado     14 26 14 8 4 2 C2v
57 Prisma hexagonal triaumentado     15 30 17 12 3 2 D3h
58 Dodecaedro aumentado     21 35 16 5 11 C5v Sólidos de Platón modificados
59 Dodecaedro parabiaumentado     22 40 20 10 10 D5d
60 Dodecaedro metabiaumentado     22 40 20 10 10 C2v
61 Dodecaedro triaumentado     23 45 24 15 9 C3v
62 Icosaedro metabidisminuido     10 20 12 10 2 C2v
63 Icosaedro tridisminuido     9 15 8 5 3 C3v
64 Icosaedro tridisminuido aumentado     10 18 10 7 3 C3v
65 Tetraedro truncado aumentado     15 27 14 8 3 3 C3v Sólidos de Arquímedes modificados
66 Cubo truncado aumentado     28 48 22 12 5 5 C4v
67 Cubo truncado biaumentado     32 60 30 16 10 4 D4h
68 Dodecaedro truncado aumentado     65 105 42 25 5 1 11 C5v
69 Dodecaedro truncado parabiaumentado     70 120 52 30 10 2 10 D5d
70 Dodecaedro truncado metabiaumentado     70 120 52 30 10 2 10 C2v
71 Dodecaedro truncado triaumentado     75 135 62 35 15 3 9 C3v
72 Rombicosidodecaedro giroide     60 120 62 20 30 12 C5v
73 Rombicosidodecaedro parabigiroide     60 120 62 20 30 12 D5d
74 Rombicosidodecaedro metabigiroide     60 120 62 20 30 12 C2v
75 Rombicosidodecaedro trigiroide     60 120 62 20 30 12 C3v
76 Rombicosidodecaedro disminuido     55 105 52 15 25 11 1 C5v
77 Rombicosidodecaedro paragiroide disminuido     55 105 52 15 25 11 1 C5v
78 Rombicosidodecaedro metagiroide disminuido     55 105 52 15 25 11 1 Cs
79 Rombicosidodecaedro bigiroide disminuido     55 105 52 15 25 11 1 Cs
80 Rombicosidodecaedro parabidisminuido     50 90 42 10 20 10 2 D5d
81 Rombicosidodecaedro metabidisminuido     50 90 42 10 20 10 2 C2v
82 Rombicosidodecaedro giroide bidisminuido     50 90 42 10 20 10 2 Cs
83 Rombicosidodecaedro tridisminuido     45 75 32 5 15 9 3 C3v
84 Biesfenoide romo
(Dodecaedro siamés) 		    8 18 12 12 D2d Diversos
85 Antiprisma cuadrado romo     16 40 26 24 2 D4d
86 Esfenocorona     10 22 14 12 2 C2v
87 Esfenocorona aumentada     11 26 17 16 1 Cs
88 Esfenomegacorona     12 28 18 16 2 C2v
89 Hebesfenomegacorona     14 33 21 18 3 C2v
90 Biesfenocíngulo     16 38 24 20 4 D2d
91 Bilunabirrotonda     14 26 13 7 3 5 D2h
92 Hebesfenorrotonda triangular     18 36 20 13 3 3 1 C3v

Sólido casi coincidente de Johnson editar

Un sólido casi coincidente de Johnson es un poliedro que se encuentra cerca de tener todas sus caras regulares, teniendo algunas caras levemente irregulares o todas sus caras irregulares con algún leve grado de distorsión, fallándole por poco a la definición de sólido de Johnson. Varios de estos poliedros son también simetroedros con algunas caras perfectamente regulares.

Véase también editar

Referencias editar

  • Norman Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pg. 169–200. Enumeración original de los 92 sólidos, y conjetura sobre que no existen otros.
  • Victor A. Zalgaller (1969). Consultants Bureau, ed. Convex Polyhedra with Regular Faces. No ISBN.  Primera prueba de que solo hay 92 sólidos de Johnson.

Enlaces externos editar


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