Seno del topólogo

El seno del topólogo, en topología, es una curva contenida en $\mathbb {R} ^{2}$ utilizada frecuentemente para ilustrar determinadas propiedades de los espacios topológicos.​ Se utiliza especialmente a modo de ejemplo de espacio topológico que es conexo pero no conexo por caminos.

Definición

Una definición usual del seno del topólogo es la adherencia de la curva

$A=\{(x,{\mbox{sen}}({\tfrac {1}{x}})),\ x\in (0,1]\}$,

denotada ${\bar {A}}$, y que se define a su vez como la unión de $A$ con su frontera, el segmento

$\partial A=\{(0,y),\ y\in [-1,1]\}$

A medida que x se acerca a cero, 1/x crece cada vez más rápido (de hecho, tiende a infinito), por lo que la frecuencia de la curva sinusoidal también es cada vez mayor. En el límite, la frecuencia es infinita.

Variantes

En ocasiones, se considera solamente $A$, o la unión de $A$ con el punto $(0,0)$. También se puede considerar la función $f(x)={\mbox{sen}}({\tfrac {1}{x}})$ definida en un intervalo distinto de (0,1],​ aunque siempre en un intervalo abierto en 0. Incluso se puede hacer distinción entre la «curva cerrada» (${\bar {A}}$) y la «curva abierta» ($A$) del seno del topólogo.​

Propiedades

La función $f(x)={\mbox{sen(1/x)}},f(0)=0$ no es de variación acotada.

Como adherencia de un conjunto conexo, ${\bar {A}}$ es un conjunto conexo. Sin embargo, no es conexo por caminos, pues no existe un camino $f:[0,1]\rightarrow {\bar {A}}$ que una los puntos $(1,{\mbox{sen}}(1))$ y $(0,0)$. Para ver que es así, considérese la sucesión formada por los puntos, tomados de derecha a izquierda en la gráfica, cuya segunda componente es alternativamente +1 ó -1. Esta sucesión no converge.

Temas relacionados

• Peine del topólogo, otro ejemplo de espacio conexo, pero no conexo por caminos.

Referencias

• Datos: Q1148367