Teorema del buen orden

El "teorema de Zermelo" redirige aquí. Para el teorema de Zermelo en teoría de juegos, ver teorema de Zermelo (teoría de juegos).

No confundirlo con el principio del buen orden.

En matemática, el teorema del buen orden establece que todo conjunto puede ser bien ordenado. Un conjunto X está bien ordenado por un orden estricto si todo subconjunto no vacío de X tiene un elemento mínimo bajo dicho orden. También se conoce como teorema de Zermelo y es equivalente al axioma de elección.[1][2]Ernst Zermelo introdujo el axioma de elección como un "principio lógico irrefutable" para demostrar el teorema del buen orden. Esto es importante porque hace susceptible a todo conjunto a la poderosa técnica de inducción transfinita. El teorema del buen orden tiene consecuencias que pueden parecer paradójicas, como por ejemplo la paradoja de Banach–Tarski.

Historia editar

Georg Cantor consideró el teorema del buen orden como un "principio fundamental de pensamiento". La mayoría de los matemáticos sin embargo encuentran difícil visualizar un buen orden de, por ejemplo, el conjunto   de números reales. En 1904, Gyula Kőnig anunció haber demostrado que semejante buen orden no puede existir. Pocas semanas después, Felix Hausdorff detectó un error en la demostración. Aun así resultó que el teorema del buen orden es equivalente al axioma de elección, en el sentido de que cada uno junto con los axiomas de Zermelo-Fraenkel es suficiente para demostrar el otro, en lógica de primer orden (lo mismo aplica al lema de Zorn). En lógica de segundo orden, no obstante, el teorema del buen orden es más estricto que el axioma de elección: del teorema del buen orden se deduce el axioma de elección, pero del axioma de elección no se puede deducir el teorema del buen orden.[3]

Enunciado e idea de la demostración editar

Para todo conjunto  , existe un buen orden con dominio  .

El teorema del buen orden se obtiene del lema de Zorn. Tómese el conjunto   de todos los buenos órdenes de subconjuntos de  : un elemento de   es un par ordenado   en el que   y   es un buen orden de  .   puede ser parcialmente ordenado a continuación. Eso implica, defínase   si   es un segmento inicial de F y el orden de los miembros de E es el mismo que su orden en  . Si   es una cadena en  , la unión de los conjuntos de   puede ordenarse de forma tal que lo transforma en una prolongación de cada conjunto de  ; ese orden es un buen orden y, por tanto, una cota superior de   en  . Podemos, pues, aplicar el lema de Zorn para concluir que   tiene un elemento maximal, por ejemplo  . El conjunto   debe ser igual a  , porque si   tiene un elemento   tiene un buen orden restringido a   en  , y para el cual   es mayor que todos los elementos de  . Este conjunto bien ordenado es una prolongación de  , contradiciendo su maximalidad, de modo que  . Por tanto   es un buen orden de  .[4]

El axioma de elección puede deducirse del teorema del buen orden de la siguiente forma. Para crear una función de elección para una colección de conjuntos no vacíos,  , tómese la unión de todos los conjuntos en   y llámesela  . Existe un buen orden de  ; suponga que   es tal orden. La función que a cada conjunto   le asocia el elemento más pequeño de  , ordenado por (la restricción de   a)   es una función de elección para  . Un punto esencial de esta deducción es que solamente hace referencia a una elección sencilla arbitraria, la de  ; aplicar el teorema del buen orden a cada miembro   no funcionaría, ya que el teorema solo afirma la existencia de un buen orden, y elegir para todo miembro   un buen orden no sería más fácil que escoger un elemento.

Véase también editar

Referencias editar

  1. Kuczma, Marek (2009). An introduction to the theory of functional equations and inequalities (en inglés). Berlin: Springer. p. 15. ISBN 3-7643-8748-3.
  2. Hazewinkel, Michiel (2001). Encyclopaedia of Mathematics: Supplement (en inglés). Berlin: Springer. ISBN 1-4020-0198-3
  3. Shapiro, Stewart (1991). Foundations Without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic. (en inglés) New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-853391-8
  4. Halmus, Paul (1960). Naive Set Theory (en inglés). Litton Educational