Congruencia (teoría de números)

concepto en la teoría de números
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Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural , llamado módulo; esto se expresa utilizando la notación:

que se expresa diciendo que: es congruente con módulo . De donde se define que dos números son congruentes en módulo «» (sí y solo si) :

  • divide exactamente a la diferencia de y

o lo que es lo mismo, dejan el mismo resto en la división por . Además, también se puede afirmar que:

  • se puede escribir como la suma de y un múltiplo de , pues si:  » (entonces), , para algún


El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo y cada entero no divisible por tenemos la congruencia:

[1]

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por y , es decir puede ser cualquier entero de las sucesiones y . Contrariamente la congruencia , no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Propiedades

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La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática, por citar alguna:

  • La congruencia para un módulo   entonces también  
  1. transitividad: si   y   entonces también  .
  • Si   es coprimo con   y  , entonces   también es coprimo con  .
  • Si   y   es un entero entonces también se cumple
    •  
    •  
    •  
  • Si además   es coprimo con  , entonces podemos encontrar un entero  , tal que
 

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

 

donde por definición ponemos  .

  • Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:
  y  

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

  y  

Véase también

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Referencias

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  1. «Aritmética modular». Archivado desde el original el 21 de enero de 2022. Consultado el 22 de enero de 2020. 

Enlaces externos

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