Conjunto absolutamente convexo

En matemáticas, un subconjunto C de un espacio vectorial real o complejo se dice que es absolutamente convexo o en forma de disco si es convexo y equilibrado (algunos utilizan el término circular en lugar de equilibrado), en cuyo caso se llama disco. La envoltura de disco o enovoltura absolutamente convexa de un conjunto es la intersección de todos los discos que contienen ese conjunto.

Definición

El área en gris claro es la envoltura absolutamente convexa de la cruz en gris oscuro.

Un subconjunto $S$ de un espacio vectorial (real o complejo) $X$ se denomina disco y se dice que es absolutamente convexo y equilibrado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. $S$ es convexo y equilibrado.
2. para cualesquiera escalares $a$ y $b,$ si $|a|+|b|\leq 1$ entonces $aS+bS\subseteq S.$
3. para todos los escalares $a,b,$ y $c,$ si $|a|+|b|\leq |c|,$ entonces $aS+bS\subseteq cS.$
4. para cualquier escalar $a_{1},\ldots ,a_{n}$ si $\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|\leq 1$ entonces $a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq S.$
5. para cualquier escalar $c,a_{1},\ldots ,a_{n}$ si $\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|\leq |c|$ entonces $a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq cS.$

El menor subconjunto convexo (resp. equilibrado) de $X$ que contiene a un conjunto se denomina envoltura convexa de dicho conjunto y se denota por $\operatorname {co} S$ (resp. $\operatorname {bal} S$).

Del mismo modo, se define que una envolutra de disco, o envolutra absolutamente convexa, de un conjunto $S$ es el disco más pequeño (con respecto al inclusión de conjuntos) que contiene a $S.$​ La envoltura de disco de $S$ se denotará por $\operatorname {disco} S$ o $\operatorname {cobal} S$ y es igual a cada uno de los siguientes conjuntos: $\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),$ que es la envoltura convexa del envoltura equilibrada de $S$; así, $\operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).$

1. • En general, $\operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$ es posible, incluso en espacios vectoriales de dimensión finita.

2. la intersección de todos los discos que contienen $S.$
3. $\left\{\sum _{i=1}^{n}s_{i}x_{i}~:~n\in \mathbb {N} ,\,x_{i}\in S,\,\sum _{i=1}^{n}\left|s_{i}\right|\leq 1\right\}$, donde los $s_{i}$ son elementos del cuerpo subyacente.

Condiciones suficientes

La intersección de un número arbitrario de conjuntos absolutamente convexos es de nuevo absolutamente convexa; sin embargo, la unión de un número arbitrario de conjuntos absolutamente convexos no necesitan ser ya absolutamente convexos.

Si $D$ es un disco en $X,$ entonces $D$ es absorbente en $X$ si y sólo si $\operatorname {span} D=X.${sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=67-113}}

Propiedades

Véase también: Espacio vectorial topológico

Si $S$ es un disco absorbente en un espacio vectorial $X$ entonces existe un disco absorbente $E$ en $X$ tal que $E+E\subseteq S.$ ​.

Si $D$ es un disco y $r$ y $s$ son escalares entonces $sD=|s|D$ y $(rD)\cap (sD)=(\min _{}\|r|,|s|\})D.$

La envoltura absolutamente convexa de un conjunto acotado en un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo es de nuevo acotada.

Si $D$ es un disco acotado en un EVT $X$ y si $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ es una sucesión en $D,$ entonces las sumas parciales $s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{infty}$ son sucesiones de Cauchy, donde para todo $n,$ $s_{n}:=\sum _{i=1}^{n}2^{-i}x_{i}.$​. En particular, si además $D$ es un subconjunto secuencialmente completo de $X,$ entonces esta serie $s_{\bullet }$ converge en $X$ a algún punto de $D.$

La envoltura convexa y equilibrada de $S$ contiene tanto a la envoltura convexa de $S$ como a la envoltura equilibrada de $S$ Además, contiene la envoltura equilibrada de la envoltura convexa de $S;$ así

$$\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),$$

donde el ejemplo siguiente muestra que esta inclusión puede ser estricta.

Sin embargo, para cualesquiera subconjuntos $S,T\subseteq X,$ si $S\subseteq T$ entonces $\operatorname {cobal} S\subseteq \operatorname {cobal} T$, lo que implica que $\operatorname {cobal} (\operatorname {co} S)=\operatorname {cobal} S=\operatorname {cobal} \operatorname {bal} S).$

Ejemplos

Aunque $\operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),$ la envoltura convexo equilibrado de $S$ es ‘’no’’ necesariamente igual a la envoltura equilibrada de la envoltura convexa de $S.${sfn|Trèves|2006|p=68}.

Para un ejemplo en el que $\operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$ sea $X$ el espacio vectorial real $R^{2}$ y sea $S:=\{(-1,1),(1,1)\}.$. Entonces $\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$ es un subconjunto estricto de $\operatorname {cobal} S$ que ni siquiera es convexo; en particular, este ejemplo también muestra que la envoltura equilibrado de un conjunto convexo es ‘’no’’ necesariamente convexo.

El conjunto $\operatorname {cobal} S$ es igual al cuadrado cerrado y lleno en $X$ con vértices $(-1,1),(1,1),(-1,-1),$ y $(1,-1)$ (esto es porque el conjunto equilibrado $\operatorname {cobal} S$ debe contener tanto a $S$ como a $S=\{(-1,-1),(1,-1)\},$ donde ya que $\operatorname {cobal} S$ también es convexo, debe contener en consecuencia el cuadrado sólido $\operatorname {co} ((-S)\cup S),$ que para este ejemplo particular resulta ser también equilibrado de modo que $\operatorname {cobal} S=\operatorname {co} ((-S)\cup S)$). Sin embargo, $\operatorname {co} (S)$ es igual al segmento de recta cerrada horizontal entre los dos puntos de $S$ de modo que $\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$ es, en cambio, un subconjunto cerrado con forma de "reloj de arena" que corta el eje $x$ exactamente en el origen y es la unión de dos triángulo isósceles cerrados y llenos: uno cuyos vértices son el origen junto con $S$ y el otro triángulo cuyos vértices son el origen junto con $-S=\{(-1,-1),(1,-1)\}.$ Este "reloj de arena" relleno no convexo $\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$ es un subconjunto propio del cuadrado relleno $\operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).$

Véase también

• Conjunto absorbente
• Espacio normado auxiliar
• Conjunto equilibrado
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
• Conjunto convexo
• Dominio estrellado

Referencias

Bibliografía

• Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. pp. 4-6. 

• Datos: Q332715