Conjunto cuadrático

línea o superficie compuesta que posee las mismas propiedades proyectivas que una cónica o una cuádrica respectivamente

En matemáticas, un conjunto cuadrático es un conjunto de puntos en un espacio proyectivo que tiene las mismas propiedades de incidencia esenciales que una cuádrica (una sección cónica en un plano proyectivo, o bien una esfera, un cono o un hiperboloide en un espacio proyectivo).[1]

Definición de un conjunto cuadrático

editar

Sea   un espacio proyectivo. Un conjunto cuadrático es un subconjunto no vacío   de   para el que se cumplen las dos condiciones siguientes:

(QS1): Cada línea recta   de   interseca a   en como máximo dos puntos, o está contenida en  .
(  se llama exterior a   si  , tangente a   si   o  , y secante a   si  .)
(QS2): Para cualquier punto  , la unión   de todas las rectas tangentes que pasan por   es un hiperplano o el espacio completo  .

Un conjunto cuadrático   se llama no degenerado si para cada punto  , el conjunto   es un hiperplano.

Un espacio proyectivo papiano es un espacio proyectivo en el que se cumple el teorema del hexágono de Pappus.

El siguiente resultado, debido a Francis Buekenhout, es una afirmación sorprendente para espacios proyectivos finitos:

Teorema: Sea   un espacio proyectivo finito de dimensión   y   un conjunto cuadrático no degenerado que contiene líneas rectas. Entonces:   es papiano y   es una cuádrica con índice  .

Definiciones de óvalo y ovoide

editar

Los óvalos y los ovoides son conjuntos cuadráticos especiales:

Sea   un espacio proyectivo de dimensión  . Un conjunto cuadrático no degenerado   que no contiene líneas rectas se llama ovoide (u óvalo en caso plano).

Las siguientes definiciones equivalentes de óvalo/ovoide son más comunes:

Definición: (óvalo)

  • Un conjunto de puntos no vacío   de un plano proyectivo se llama óvalo si cumple las siguientes propiedades:
(o1) Cualquier recta se encuentra con   como máximo en dos puntos.
(o2) Para cualquier punto   en   hay una y solo una recta   tal que  .
Una recta   es una recta exterior, tangente o secante al óvalo si   o   o   respectivamente.
Para planos finitos, el siguiente teorema proporciona una definición más simple:
Teorema: (óvalo en un plano finito):
Sea   un plano proyectivo de orden  . Un conjunto   de puntos es un óvalo si   y si no hay tres puntos de   son colineales.
Según este teorema de Beniamino Segre, para los planos proyectivos papianos de orden impar, los óvalos son simplemente cónicas:
Teorema:
Sea   un plano proyectivo papiano de orden impar. Cualquier óvalo en   es una cónica ovalada (cuádrica no degenerada).

Definición: (ovoide):

  • Un conjunto de puntos no vacío   de un espacio proyectivo se denomina ovoide si se cumplen las siguientes propiedades:
(O1) Cualquier recta se cruza con   como máximo en dos puntos.
(  se llama línea exterior, tangente y secante si   y   respectivamente.)
(O2) Para cualquier punto  , la unión   de todas las rectas tangentes que pasan por   es un hiperplano (plano tangente en  ).
Ejemplo:
a) Cualquier esfera (cuádrica de índice 1) es un ovoide.
b) En el caso de espacios proyectivos reales, se pueden construir ovoides combinando mitades de elipsoides adecuados, de modo que el resultado no sea una cuádrica.
Para espacios proyectivos finitos de dimensión   sobre un cuerpo  , se tiene que:
Teorema:
a) En el caso de que  , existe un ovoide en   solo si   o  .
b) En el caso de que  , un ovoide en   es una cuádrica.
Existen contraejemplos (como los ovoides de Tits-Suzuki) que demuestran que el enunciado b) del teorema anterior no es cierto para  .

Referencias

editar
  1. James Hirschfeld, Joseph A. Thas (2016). General Galois Geometries. Springer. pp. 43 de 409. ISBN 9781447167907. Consultado el 10 de octubre de 2023. 

Bibliografía

editar

Enlaces externos

editar