Deducción del módulo de la suma

Este artículo presenta una deducción para la expresión del módulo resultante de dos vectores (véase vector (física) y módulo (vector)) de un espacio vectorial (sobre los números reales).

Deducción

Sean dos vectores ${\vec {a}}$ y ${\vec {b}}$ que forman un ángulo $\theta$ entre sí:

Imagen de vectores colocados

La fórmula para calcular $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|$ se deduce observando los triángulos rectángulos que se forman, OCB y ACB, y aplicando el Teorema de Pitágoras. En el triángulo OCB:

${\overline {\text{OB}}}^{2}={\overline {\text{OC}}}^{2}+{\overline {\text{CB}}}^{2}$

${\overline {\text{OB}}}=|{\vec {a}}+{\vec {b}}|$

${\overline {\text{OC}}}=\left|{\vec {a}}\left|+AC\right.\right.$

Resultando:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+{\overline {\text{AC}}}\right)^{2}+{\overline {\text{CB}}}^{2}$

En el triángulo ACB :

${\overline {\text{AC}}}=|{\vec {b}}|\cos \theta$

${\overline {\text{CB}}}=|{\vec {b}}|\sin \theta$

Sustituyendo esto en la igualdad de antes resulta:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+|{\vec {b}}|\cos \theta \right)^{2}+\left(|{\vec {b}}|\sin \theta \right)^{2}$

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta +|{\vec {b}}|^{2}\cos ^{2}\theta +|{\vec {b}}|^{2}\sin ^{2}\theta$

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta +|{\vec {b}}|^{2}\left(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta \right)$

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\quad \Rightarrow \quad \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta +|{\vec {b}}|^{2}$

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta +|{\vec {b}}|^{2}}}$

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta }}$

• Datos: Q5679055