Diagrama de Penrose-Carter
En física teórica, al tratar de representar pictóricamente un espacio-tiempo surgen dos problemas:
- el espacio-tiempo es una variedad de dimensión 4. Podemos obviar esto usando las simetrías del mismo, en caso de tenerlas, y representar una subvariedad de dimensión 2. Por ejemplo, para un espacio-tiempo esféricamente simétrico todos los puntos de una 2-esfera son equivalentes y se pueden representar por un solo punto de un diagrama.
- las coordenadas del mismo se extienden hasta infinito. Esto puede solventarse sustituyendo el espaciotiempo físico por un espaciotiempo no físico (nuestro diagrama) conforme con el primero.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a8/Penrose.svg/220px-Penrose.svg.png)
Ambos problemas quedan solventados con los diagramas conocidos como diagramas conformes, diagramas de Penrose-Carter o simplemente diagramas de Penrose, diagramas bidimensionales que conservan la información sobre las relaciones causales entre diversos puntos del espacio-tiempo y permiten representar regiones infinitas en diagramas finitos.[1] Para ello, sacrifican información sobre las distancias entre puntos. La métrica de los diagramas de Penrose-Carter es conformemente equivalente con una restricción bidimensional de la métrica real del espacio-tiempo que representan. El factor conforme es elegido de modo que todo el espacio-tiempo se proyecte en un diagrama de dimensiones finitas. La frontera de la nueva figura no formará parte del espaciotiempo original, pero permitirá estudiar sus propiedades asintóticas y sus singularidades.
Llamado así en homenaje al físico matemático Roger Penrose, por usarlos por vez primera en 1962[2] y a su colega Brandon Carter, que los sistematizó en 1966,[3] un diagrama de Penrose-Carter comparte varias características con el espacio-tiempo de Minkowski: las líneas oblicuas a 45° corresponden a trayectorias luminosas, la dimensión vertical representa una coordenada temporal y la horizontal a las dimensiones espaciales.
Ejemplos
editarEspacio de Minkowski
editarPara representar el diagrama conforme de un espacio de Minkowski, podemos pensar en la expresión de su métrica plana en coordenadas esféricas, y restringirnos a la subvariedad cubierta por las coordenadas r y t. Estas coordenadas abarcan un rango infinito. Un primer intento de conseguir que cubran un rango finito sería usar las nuevas coordenadas y . Pero esto no conseguiría mantener los conos de luz de nuestro diagrama a 45°. Para conseguirlo, se realiza un triple cambio de coordenadas:
- En primer lugar, el cambio a las coordenadas nulas , .
- Sobre ellas, efectuamos el cambio , .
- Finalmente, volvemos a coordenadas , .
La métrica en estas coordenadas queda expresada por:[4]
donde
- .
En lugar de esta métrica, que llamaremos , en el diagrama de Penrose representaremos la métrica conforme . Como las coordenadas abarcan los rangos: , el diagrama tendrá forma de diamante (o de triángulo si se añade la condición de que R sea positivo).
Espacio de Schwarzschild
editarLa figura muestra la representación de un espacio de Schwarzschild correspondiente a un agujero negro estático (sin rotación). La coordenada vertical llamada « u » es la temporal, mientras que la coordenada horizontal « v » es espacial. El diagrama de Penrose es conforme, es decir que las geodésicas de género nulo (líneas de luz) corresponden a las media-primera y segunda bisectrices « altas ».
De este sistema de coordenadas derivado del de Kruskal se tiene:
El diagrama hecho entonces por abstracción de dos coordenadas esféricas y . Los conos de luz delimitados por las geodésicas nulas (ds² = 0) correspondiente a du² = dv², entonces {u = v} ou {u = -v}, es decir, las bisectrices primera y segunda.
Partiendo de la izquierda, dos rectas (primera y segunda bisectrices) divergen : la recta de abajo , llamada I-, representa « lo infinito del pasado », de esta provienen todos los móviles desde lo infinitamente lejano ; la recta de arriba, I+, corresponde al « infinito del futuro », y representa el lugar hacia donde se dirigen todos los móviles que se distancia luego de un agujero negro. Las dos rectas horizontales y paralelas representan la singularidad (en el pasaje del pasado al futuro), situado en r = 0. este diagrama es simétrico por relación con la vertical. En línea discontinua está representado el horizonte de un agujero negro ubicado (en unidades convencionales) en r = 2M.
Véase también
editarNotas y referencias
editar- ↑ Penrose, Roger, El camino a la realidad: Una guía completa de las leyes del universo, Editorial Debate, 2006, ISBN 84-8306-681-5. (cap. 27)
- ↑ Penrose, R. The Light Cone at Infinity. In Proceedings of the 1962 Conference on Relativistic Theories of Gravitation Warsaw. Polish Academy of Sciences, Warsaw. (Published 1965.)
- ↑ B. Carter, Complete analytic extension of the symmetry axis of Kerr’s solution of Einstein’s equations, Phys. Rev. 141, 1242–1247 (1966).
- ↑ Sean M. Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley, 2003. ISBN 080538732
Enlaces externos
editar- Penrose Diagram - www.pas.rochester.edu (en inglés)