Distribución logarítmica

En teoría de la probabilidad, la distribución logarítmica es una distribución de probabilidad discreta derivada de la expansión en series de Maclaurin

Distribución logarítmica
La función estádefindia solo para valores enteros. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad. Función de densidad de probabilidad
El eje horizontal es el índice k. Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$p\in (0,1)$
Dominio	$k\in \{0,1,2,\ldots \}$
Función de probabilidad (fp)	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}}$
Función de distribución (cdf)	$1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}$
Media	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}$
Moda	$1$
Varianza	$-{\frac {p^{2}+p\ln(1-p)}{(1-p)^{2}(\ln(1-p))^{2}}}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\frac {\ln(1-pe^{t})}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t<-\ln p$
Función característica	${\frac {\ln(1-pe^{it})}{\ln(1-p)}}$

$-\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .$

A partir de ella, se obtiene

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.$

Por lo tanto, los valores

$f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}$

pueden interpretarse como los pesos de una distribución de probabilidad, que es, precisamente, la logarítmica (de parámetro p).

La función de probabilidad acumulada es

$F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}$

donde B es la función beta incompleta.

Relación con otras distribuciones

Una mezcla de variables aleatorias independientes con una distribución logarítmica de acuerdo con la distribución de Poisson sigue una distribución binomial negativa. Dicho de otro modo, si N es una variable aleatoria de Poisson y X_i, i = 1, 2, 3, ... es una sucesión infinita de variables aleatorias que siguen la distribución logarítmica de parámetro p, entonces la variable aleatoria

$\sum _{n=1}^{N}X_{i}$

sigue una ley binomial negativa.

Historia

R.A. Fisher describió esta distribución en un artículo en el que se describía la abundancia relativa de especies en un determinado hábitat.​

Véase también

• Distribución de Poisson

Bibliografía

• Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W; Kotz, Samuel (2005). «Chapter 7: Logarithmic and Lagrangian distributions». Univariate discrete distributions (3 edición). John Wiley & Sons. ISBN 9780471272465. 
• Weisstein, Eric W. «Log-Series Distribution». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q1867999