Espiral dorada

espiral logarítmica asociada a las propiedades geométricas del rectángulo dorado

La Espiral dorada (denominada también espiral áurea) es una espiral logarítmica asociada a las propiedades geométricas del rectángulo dorado.[1]​ La razón de crecimiento es Φ, es decir la razón dorada o número áureo.[2]​ Aparece esta espiral representada en diversas figuras de la naturaleza (planta, galaxias espirales), así como en el arte.

Espiral áurea construido a partir de la evolución de un rectángulo dorado.
Las espirales áureas son auto similares. La forma se repite indefinidamente cuando la ampliamos. Ver Fractales

Desarrollo matemático

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La ecuación polar que describe la espiral dorada es la misma que cualquier otra espiral logarítmica, pero con el factor de crecimiento (b) igual Φ, esto es:[3]

 

o, de la misma forma casa

 

Siendo e la base del logaritmo natural, a es una constante real positiva y b es tal que cuando el ángulo θ es un ángulo recto:

 

Por lo tanto, b se encuentra determinado por

 

El valor numérico de b depende de si el ángulo θ es medido en grados o radianes; como b puede tomar valores positivos o negativos según el signo de θ lo más sencillo es indicar su valor absoluto:

 
Una espiral de Fibonacci se aproxima a la espiral dorada; cuando se inscribe en cuadrados cuyos lados responden a la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.
  para θ en grados;
  para θ en radianes.

Una fórmula alternativa para la espiral dorada se obtiene en:[4]

 

donde la constante c está determinada por:

 

para la espiral dorada los valores de c son:

 

si θ se mide en grados sexagesimales, y

 

si θ se mide en radianes.

Aproximaciones a la espiral dorada

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Existen aproximaciones a la espiral dorada, que no son iguales.[5]​ Este tipo de espirales, a menudo se confunden con la espiral dorada. Un ejemplo es la espiral de Fibonacci que resulta ser una aproximación a la espiral dorada.

Generación

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Espirales doradas
 
Mediante convolución de rectas
Mediante convolución de rectas  
 
La cáscara de un Nautilus
La cáscara de un Nautilus  
 
Espiral en el triángulo y su serie de Fibonacci
Espiral en el triángulo y su serie de Fibonacci  

Referencias

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  1. Steven L. Griffing, (2007), The Golden Section: An Ancient Egyptian and Grecian Proportion, Elsevier, New York, pág. 121-124
  2. Chang, Yu-sung, "Golden Spiral Archivado el 28 de julio de 2019 en Wayback Machine.", The Wolfram Demonstrations Project.
  3. Priya Hemenway (2005). Divine Proportion: θ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co. pp. 127–129. ISBN 1402735227. 
  4. Klaus Mainzer (1996). Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. Walter de Gruyter. pp. 45, 199-200. ISBN 3110129906. 
  5. Charles B. Madden (1999). Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis. High Art Press. pp. 14-16. ISBN 0967172764. 

Enlaces externos

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