Comparado con la interpolación lineal y con la bilinealeditar
La interpolación trilineal es la extensión de la interpolación lineal,[1] que opera en espacios con dimensión, y de la interpolación bilineal, que opera con la dimensión , a la dimensión . Todos estos sistemas de interpolación utilizan polinomios de orden 1, lo que proporciona una precisión de orden 2, y requieren valores predefinidos adyacentes que rodeen el punto de interpolación. Hay varias formas de llegar a la interpolación trilineal, que es equivalente a la interpolación tridimensional tensorial de orden 1 con B-splines, y el operador de interpolación trilineal también es un producto tensorial de 3 operadores de interpolación lineal.[2]
En una red periódica y cúbica, sean , y
sean las diferencias entre cada uno de , , y la coordenada más pequeña relacionada, es decir:[3]
donde indica el punto de red debajo de , y indica el punto de red por encima de y de manera similar para y .
Primero se interpola en (imagínese que se está "empujando" la cara del cubo definida por hacia la cara opuesta, definida por ), dando:
donde significa el valor de la función de A continuación, se interpolan estos valores (en , "empujando" de a ), dando:
Finalmente, se interpolan estos valores en (recorriendo una recta):
Esto da un valor previsto para el punto.
El resultado de la interpolación trilineal es independiente del orden de los pasos de interpolación en los tres ejes: cualquier otro orden, por ejemplo en , luego en y finalmente en , produce el mismo valor.
Las operaciones anteriores se pueden visualizar de la siguiente manera: Primero se localizan las ocho esquinas de un cubo que rodean al punto de interés. Estas esquinas tienen los valores , , , , , , , .
A continuación, se realiza una interpolación lineal entre y para encontrar , y para encontrar , y para encontrar , y para encontrar .
Ahora se interpola entre y para encontrar , y para encontrar . Finalmente, se calcula el valor mediante interpolación lineal de y .
En la práctica, una interpolación trilineal es idéntica a dos interpolaciones bilineales combinadas con una interpolación lineal:[3]
pseudocódigo de la NASA, describe una interpolación trilineal inversa iterativa (dados los vértices y el valor de C, encuentre Xd, Yd y Zd).
Paul Bourke, Métodos de interpolación, 1999. Contiene un método muy inteligente y simple para encontrar la interpolación trilineal que se basa en la lógica binaria y se puede extender a cualquier dimensión (tetralineal, Pentalineal, ...).
Kenwright, Deformación del tetraedro de forma libre. Simposio Internacional sobre Computación Visual. Springer International Publishing, 2015 [1].