Isomorfismo musical

En matemáticas, el isomorfismo musical es un isomorfismo entre el fibrado tangente $TM$ y el fibrado cotangente $T^{*}M$ de una variedad riemanniana, que viene inducido por su métrica.

Introducción

Una métrica g en una variedad Riemanniana M es un campo tensorial $g\in {\mathcal {T}}_{2}(M)$ que es simétrico, no degenerado y definido positivo. Al fijar uno de los dos parámetros como un vector $v_{p}\in T_{p}M$, se obtiene un isomorfismo de espacios vectoriales:

${\hat {g}}_{p}:T_{p}M\longrightarrow T_{p}^{*}M$

definido por:

${\hat {g}}_{p}(v_{p})=g(v_{p},-)$

es decir,

$\langle {\hat {g}}_{p}(v_{p}),\omega _{p}\rangle =g_{p}(v_{p},\omega _{p})$

Globalmente,

${\hat {g}}:TM\longrightarrow T^{*}M$

es un difeomorfismo.

Motivación para el nombre

El isomorfismo ${\hat {g}}$ y su inversa ${\hat {g}}^{-1}$ se denominan isomorfismos musicales porque suben y bajan los índices de los vectores. Por ejemplo, un vector de TM se escribe como $\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ y un covector como $\alpha _{i}dx^{i}$, así que el índice i sube y baja en $\alpha$ del mismo modo que los símbolos sostenido ($\sharp$) y bemol ($\flat$) suben y bajan un semitono.

Gradiente

Los isomorfismos musicales se pueden usar para definir el gradiente de una función diferenciable sobre una variedad riemanniana M como:

$\nabla f=\mathrm {grad} \;f={\hat {g}}^{-1}\circ df=(df)^{\sharp }$

Véase también

• Ley de subir o bajar índices (tensores)

• Datos: Q2915448