Método de Runge-Kutta

En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos alemanes C. Runge y M. W. Kutta.

Descripción

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

Sean:

$y'(t)=f(t,y(t))\,$

una ecuación diferencial ordinaria, con $f:\Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ donde $\Omega \,$ es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

$(t_{0},y_{0})\in \Omega .$

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

$y_{n+1}=y_{n}+h\,\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}$,

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento $\Delta t_{n}$ entre los sucesivos puntos $t_{n}$ y $t_{n+1}$. Los coeficientes $k_{i}$ son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

$k_{i}=f\left(t_{n}+h\,c_{i}\,,y_{n}+h\,\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right)\quad i=1,...,s.$

con $a_{ij},b_{i},c_{i}$ coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes $a_{ij}$ del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, $a_{ij}=0$ para $j=i,...,s$, los esquemas son explícitos.

Ejemplo

Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en $t=t_{n}$ y otra en $t=t_{n}+\Delta t_{n}$. ƒ(t,y(t)) en la primera etapa es:

$f_{n}=k_{1}=f(t_{n},y_{n})\,$

Para estimar ƒ(t,y) en $t=t_{n}+\Delta t_{n}$ se usa un esquema taylor

$f_{n+1}=k_{2}=f(t_{n}+\Delta t_{n}\,,y_{n}+\Delta t_{n}k_{1}).\,$

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

$y_{n+1}=y_{n}+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,dt,$

de manera que se obtiene la expresión:

$y_{n+1}=y_{n}+{{\Delta t_{n}} \over 2}(k_{1}+k_{2}).$

Los coeficientes propios de este esquema son: $b_{1}=b_{2}=1/2;a_{21}=1;c_{2}=1.$

Variantes

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).

Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.

Métodos de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.

Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta usado ampliamente es el de cuarto orden. Es usado tanto que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».

Definiendo un problema de valor inicial como:

$y'=f(x,y),\quad y(x_{0})=y_{0}$

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

$y_{i+1}=y_{i}+{1 \over 6}h\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right)$

Donde

${\begin{cases}k_{1}&=f\left(x_{i},y_{i}\right)\\k_{2}&=f\left(x_{i}+{1 \over 2}h,y_{i}+{1 \over 2}k_{1}h\right)\\k_{3}&=f\left(x_{i}+{1 \over 2}h,y_{i}+{1 \over 2}k_{2}h\right)\\k_{4}&=f\left(x_{i}+h,y_{i}+k_{3}h\right)\\\end{cases}}$

Así, el siguiente valor (y_n+1) es determinado por el presente valor (y_n) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde $k_{1}$ es la pendiente al principio del intervalo, $k_{2}$ es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando $k_{1}$ para determinar el valor de y en el punto $\scriptstyle x_{n}+{\frac {h}{2}}$ usando el método de series de Taylor. $k_{3}$ es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando $k_{2}$ para determinar el valor de y; $k_{4}$ es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por $k_{3}$. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

${\mbox{pendiente}}={\frac {k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}}{6}}.$

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de $O(h^{5})$, mientras que el error total acumulado tiene el orden $O(h^{4})$. Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de $O(h^{4})$, razón por la cual es usado en los métodos computacionales.

Véase también

• Método de Euler
• Método de Dormand-Prince

Referencias

• J. Arrieta, R. Ferreira, R. Pardo y A. Rodríguez-Bernal. "Análisis Numérico de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias". Paraninfo, Madrid, 2020. ISBN 9788428344418, ISBN 8428344418.

• Ascher, Uri M.; Petzold, Linda Ruth (1998). Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations (en inglés) (1ª edición). Philadelphia (USA): SIAM. ISBN 0898714125. 

• Richard L. Burden, J. Douglas Faires (2001). 7, ed. Análisis Numérico. Cengage Learning Latin America. ISBN 9706861343. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Runge-Kutta Method». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• TEMA 1 Problemas de Valor Inicial para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Métodos Numéricos de un paso.
• Explicación gráfica del Método Runge Kutta

• Datos: Q725944
• Multimedia: Runge-Kutta methods / Q725944