Norma de operador

aplicación que asigna una longitud o tamaño a cualquier operador en un espacio funcional
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En matemáticas, la norma de un operador (también norma operativa) mide el "tamaño" de ciertas aplicaciones lineales asignando a cada una un número real llamado su norma de operador. Formalmente, es una norma definida en el espacio de operadores lineales acotados entre dos espacios vectoriales normados dados. Informalmente, la norma del operador de una aplicación lineal es el factor máximo por el cual "alarga" los vectores.

Introducción y definición

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Dados dos espacios vectoriales normados   y   (sobre wl mismo cuerpo base, ya sean los números reales   o los números complejos  ), una aplicación lineal   es continua si y solo sí existe un número real   tal que[1]

 

La norma de la izquierda es la de   y la norma de la derecha es la de  . Intuitivamente, el operador continuo   nunca aumenta la longitud de ningún vector en más de un factor de  . Por lo tanto, la imagen de un conjunto acotado bajo un operador continuo también está acotada. Debido a esta propiedad, los operadores lineales continuos también se conocen como acotados. Para "medir el tamaño" de   se puede tomar el elemento supremo e ínfimo de los números  , de modo que la desigualdad anterior sea válida para todos los  . Este número representa el factor escalar máximo por el cual   "alarga" los vectores. En otras palabras, el "tamaño" de   se mide por cuánto "alarga" los vectores en el caso "más grande". Entonces, se define la norma del operador de   como

 

El mínimo se alcanza cuando el conjunto de todos esos   es cerrado, no vacío y acotado inferiormente.[2]

Es importante tener en cuenta que la norma del operador depende de la elección de normas para los espacios vectoriales normados   y  .

Ejemplos

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Cada matriz real de orden  -por-  corresponde a una aplicación lineal de   a   Cada par de la plétora de normas (vectoriales) aplicables a espacios vectoriales reales induce una norma de operador para todas las matrices de números reales de orden  -por- . Estas normas inducidas forman un subconjunto de normas matriciales.

Si se eligen específicamente espacios euclídeos tanto en   como en  , entonces la norma matricial dada a una matriz   es la raíz cuadrada del valor propio más grande de la matriz   (donde   denota la matriz traspuesta conjugada de  ).[3]​ Esto equivale a asignar el valor singular más grande de  .

Pasando a un ejemplo típico de dimensión infinita, considérese el espacio de sucesiones  , que es un espacio Lp definido por

 

Esto puede verse como un análogo de dimensión infinita del espacio euclídeo  . Considérese ahora una sucesión acotada  . La sucesión   es un elemento del espacio   con una norma dada por

 

Ahora, se define un operador   mediante la multiplicación escalar:

 

El operador   está limitado por la norma del operador

 

Esta discusión se extiende directamente al caso en el que   se reemplaza por un espacio   general con   y   remplazados por  .

Definiciones equivalentes

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Sea   un operador lineal entre espacios normados. Las primeras cuatro definiciones son siempre equivalentes, y si además  , entonces todas son equivalentes:

 

Si  , entonces los conjuntos en las dos últimas filas estarán vacíos y, en consecuencia, sus supremos sobre el conjunto   serán iguales a   en lugar del valor correcto de  . Si el supremo se toma sobre el conjunto  , entonces el supremo del conjunto vacío es   y las fórmulas son válidas para cualquier  .

Es importante destacar que, en general, no se garantiza que un operador lineal   alcance su norma   en la bola unitaria cerrada  , lo que significa que podría no existir ningún vector   de norma   tal que   (si dicho vector existe y si   entonces   necesariamente tendría norma unitaria  ). RC James demostró el conocido como teorema de James en 1964, en el que se establece que un espacio de Banach   es reflexivo si y solo si cada operador lineal acotado   alcanza su norma en la bola unitaria cerrada.[4]​ De ello se deduce, en particular, que todo espacio de Banach no reflexivo tiene algún funcional lineal acotado (un tipo de operador lineal acotado) que no alcanza su norma en la bola unitaria cerrada.

Si   está acotado, entonces[5]

 

y[5]

 

donde   es la trasposición de  , que es el operador lineal definido por  

Propiedades

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La norma del operador es de hecho una norma en el espacio de todos los operadores lineales acotados entre   y  . Esto significa que

 
 
 

La siguiente desigualdad es una consecuencia inmediata de la definición:

 

La norma del operador también es compatible con la composición o multiplicación de operadores: si  ,   y   son tres espacios normados sobre el mismo cuerpo base, y   y   son dos operadores acotados, entonces se genera una norma submultiplicativa tal que:

 

Para operadores acotados en  , esto implica que la multiplicación de operadores es conjuntamente continua.

De la definición se deduce que si una secuencia de operadores converge en la norma del operador, es uniformemente convergente en conjuntos acotados.

Tabla de normas de operadores comunes

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Al elegir normas diferentes para el codominio, utilizado en el cálculo de  , y el dominio, utilizado en el cálculo de  , se obtienen valores diferentes para la norma del operador. Algunas normas comunes de los operadores son fáciles de calcular y otras son NP-hard (no determinables en tiempo polinómico). Excepto las normas NP-duras, todas estas normas se pueden calcular en   operaciones (para una matriz  ), con la excepción de la norma   (que requiere   operaciones para obtener la respuesta exacta, o menos si se aproxima con el método de las potencias o las iteraciones de Lanczos).

Computabilidad de las normas de operador[6]
Codominio
     
Dominio   Máximo de la norma   de una columna Máximo de la norma   de una columna Máximo de la norma   de una columna
  NP-hard Valor singular máximo Máximo de la norma   de una fila
  NP-hard NP-hard Máximo de la norma   de una fila

La norma de la aplicación adjunta o traspuesta se puede calcular de la siguiente manera: Para cualquier par   se calculan  , y entonces  , donde   son los conjugados de Hölder respecto a  , es decir,   y  .

Operadores en un espacio de Hilbert

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Supóngase que   es un espacio de Hilbert real o complejo. Si   es un operador lineal acotado, entonces se tiene que

 

y

 

donde   denota el operador adjunto de   (que en un espacio prehilbertiano con el estándar euclídeo corresponde a la matriz traspuesta conjugada de la matriz  ).

En general, el radio espectral de   está limitado arriba por la norma del operador de  :

 

Para ver por qué la igualdad no siempre se cumple, considérese la forma canónica de Jordan de una matriz en el caso de dimensión finita. Debido a que hay entradas distintas de cero en la superdiagonal, se puede violar la igualdad. Los operadores cuasinilpotentes son una clase de tales ejemplos. Un operador cuasinilpotente distinto de cero   tiene espectro  . Entonces,   mientras  .

Sin embargo, cuando una matriz   es normal, su forma canónica de Jordan es diagonal (excepto la equivalencia unitaria), lo que se traduce en el teorema de descomposición espectral. En ese caso es fácil ver que

 

Esta fórmula a veces se puede utilizar para calcular la norma del operador de un operador acotado   dado: defínase el operador hermítico,  , determínese su radio espectral y tómese la raíz cuadrada para obtener la norma del operador de  .

El espacio de operadores acotados en  , con topología inducida por la norma del operador no es separable. Por ejemplo, considérese el espacio Lp  , que es un espacio de Hilbert. Para  , sea   la función característica de  , y   sea el operador multiplicación dado por  , es decir,

 

Entonces, cada   es un operador acotado con norma de operador 1 y

 .

Pero   es un conjunto no numerable. Esto implica que el espacio de operadores acotados en   no es separable, según la norma del operador. Se puede comparar esto con el hecho de que el espacio de sucesiones   no es separable.

El álgebra asociativa de todos los operadores acotados en un espacio de Hilbert, junto con la norma del operador y la operación adjunta, produce una C*-álgebra.

Véase también

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Referencias

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  1. Kreyszig, Erwin (1978), Introductory functional analysis with applications, John Wiley & Sons, p. 97, ISBN 9971-51-381-1 .
  2. Véase por ejemplo el Lema 6.2 de Aliprantis y Border (2007).
  3. Weisstein, Eric W.. «Operator Norm». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 14 de marzo de 2020. 
  4. Diestel, 1984, p. 6.
  5. a b Rudin, 1991, pp. 92-115.
  6. section 4.3.1, tesis doctoral de Joel Tropp, [1]

Bibliografía

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