Superficie reglada

Una superficie reglada, en geometría, es la generada por una recta, denominada generatriz, al desplazarse sobre una curva o varias, denominadas directrices. En función de las características y condiciones particulares de estos elementos, recibe diversos nombres.

Plot paramétrico de una banda de Möbius.

Clasificación de las superficies regladas

Superficies regladas son:

• el plano
• las superficies de curvatura simple:
  • superficie cilíndrica
    • superficie cilíndrica de revolución
    • superficie cilíndrica de no revolución
  • superficie cónica
    • superficie cónica de revolución
    • superficie cónica de no revolución
• las superficies alabeadas
  • cilindroide
  • conoide
  • superficie doblemente reglada
    • paraboloide hiperbólico
    • hiperboloide de revolución

Ecuaciones matemáticas

Un hiperboloide de una sola hoja, es una superficie de revolución. Los alambres son líneas rectas.

Una superficie $\mathbf {S}$ es reglada si para cada punto $\mathbf {p}$ de la misma, existe una línea recta que contiene a $\mathbf {p}$ y contenida en $\mathbf {S}$. Una superficie reglada $\mathbf {S}$ puede representarse siempre (al menos localmente) por una ecuación paramétrica de la siguiente forma:

$\mathbf {S} (t,u)=\mathbf {p} (t)+u\mathbf {r} (t)$

donde $\mathbf {p} (t)$ es una curva en $\mathbf {S}$, y $\mathbf {r} (t)$ es una curva en la esfera unidad. Así, por ejemplo,

${\begin{aligned}\mathbf {p} &=(\cos(t),\sin(t),0)\\\mathbf {r} &=\left(\cos \left({\frac {t}{2}}\right)\cos(t),\cos \left({\frac {t}{2}}\right)\sin(t),\sin \left({\frac {t}{2}}\right)\right)\end{aligned}}$

se obtiene una superficie que contiene la Cinta de Möbius.

Alternativamente, una superficie reglada $\mathbf {S}$ puede representarse paramétricamente como:

$\mathbf {S} (t,u)=(1-u)\mathbf {p} (t)+u\mathbf {q} (t)$

Donde $\mathbf {p}$ y $\mathbf {q}$ son dos curvas de $\mathbf {S}$ que no se intersecan. Por ejemplo, cuando $\mathbf {p} (t)$ y $\mathbf {q} (t)$ se mueven con velocidad constante a lo largo de dos rectas alabeadas, la superficie es un paraboloide hiperbólico, o parte de un hiperboloide de una sola hoja.

$x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\,$

Véase también

• Superficie desarrollable

• Datos: Q840376
• Multimedia: Ruled surfaces / Q840376