Teorema del factor

En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio. Es un caso especial del teorema del resto.

Este polinomio y=-x⁴+3x³-4x, con raíces en: * x=-1 * x=0 * x=2 Se factoriza como -(x+1)(x)(x-2)².

El teorema del factor establece que un polinomio $P(x)$ tiene un factor $(x-k)$ si y solo si $k$ es una raíz de $P(x)$, es decir que $P(k)=0$.

Ejemplo

Si se deseara encontrar los factores de $p(x)=x^{3}+7x^{2}+8x+2$, se tantean las raíces de $p(x)$ para obtener los factores $(x-k)$. Si el resultado de sustituir $k$ en el polinomio es igual a 0 (es decir, si $k$ es raíz), se sabe que $(x-k)$ es un factor. Teniendo en cuenta que los candidatos a raíces (racionales) de $p(x)$ son $\{\pm 1,\pm 2\}$ por el teorema de la raíz racional, se va probando con ellos.

¿Es $(x-1)$ un factor de $p(x)$? Para saberlo, se sustituye $x=1$ en el polinomio:

$p(1)=1^{3}+7\cdot 1^{2}+8\cdot 1+2=1+7+8+2=18\neq 0$

y se determina que $(x-1)$ no es un factor de $p(x)$. Se prueba ahora con $(x-(-1))=(x+1)$ de la misma forma; es decir, sustituyendo y comprobando si es $-1$ una raíz del polinomio:

$p(-1)=(-1)^{3}+7\cdot (-1)^{2}+8\cdot (-1)+2=0$

Por tanto, $(x+1)$ es un factor porque -1 es una raíz de $p(x)$.

Para hallar otros factores, basta con probar con todos los posibles candidatos a raíces o encontrar un factor e ir dividiendo el polinomio por el factor hallado para obtener nuevos polinomios de menor grado en cada iteración; en este caso, se construiría.

$g(x)={\frac {p(x)}{x+1}}={\frac {x^{3}+7x^{2}+8x+2}{x+1}}=x^{2}+6x+2$

Una vez probados todos los candidatos a raíces, se concluiría que $g(x)$ no tiene factores racionales (es decir, no existen más factores de la forma $(x-k)$ con $k\in \mathbb {Q}$), por lo que $p(x)$ solo tiene un factor racional. No obstante, por el teorema fundamental del álgebra, se sabe que $p(x)$ tiene dos factores más que serán, o ambos irracionales ($k\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$), o ambos complejos no reales ($k\in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R}$).

$p(x)=x^{3}+7x^{2}+8x+2=(x+1)\cdot (x^{2}+6x+2)=(x+1)\cdot (x+3+{\sqrt {7}})\cdot (x+3-{\sqrt {7}})$

• Datos: Q1108687