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Integral múltiple

telescopio arecibo telescopio Arecibo telescopio arecibo Antena Arecibo Antena arecibo Plantilla:Asamblea Constituyente de Nepal heinz dieterich heinz Dieterich Heinz Dieterich Dieterich carrillo puerto Carrillo Puerto Carrillo puerto carrillo Puerto [[]]

Entrada para lojban

representación AFI

a (ɑ)

b

ʃ (ʂ)

d

ɛ (e)

f (ɸ)

g

i

ʒ (ʐ)

k

l (l)̩

m (m)̩

n (n̩, ŋ, ŋ̩)

o (ɔ)

p

r, ɹ, ɾ, ʀ, r ̩, ɹ̩, ɾ̩, ʀ̩

s

t

u

v (β)

x

ə

z

h (θ)

ʔ

,

carácter latino

a

b

c

d

e

f

g

i

j

k

l

m

n

o

p

r

s

t

u

v

x

y

z

'

.

,

carácter cirílico

а

б

ш

д

е

ф

г

и

ж

к

л

м

н

о

п

р

с

т

у

в

х

ъ

з

'

.

,

Entrada para integral múltiple

Si se utiliza una transformación que siga la relación:

$f(y_{1},\ldots ,y_{n})\rightarrow f(y_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ldots ,y_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))$.

Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral

$J={\frac {D(y_{1},\ldots ,y_{n})}{D(x_{1},\ldots ,x_{n})}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}$

Integrando la función transformanda en el dominio de integración correspondiente a las variables x, multiplicando por el valor absoluto del determiante jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.

$\iint \ldots \int _{D}\,f(y_{1},\ldots ,y_{n})dx_{1}\ldots \,dx_{n}=\iint \ldots \int _{T}\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})|J|dx_{1}\ldots \,dx_{n}$

Definición

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación $x_{n+1}=f(x_{1},...,x_{n})$ y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en la región T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por $x_{3}=f(x_{1},x_{2})$ y una región T en el plano $x_{1}x_{2}$ es igual a algúna integral doble, si es que la función f está definida en región T.

Se puede dividir la región T en una partición interior $\Delta$ formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en T. La norma $||\Delta ||$ de esta partición está dada por la diagonal más larga en las n subregiones.

Si se toma un punto $(x_{1i},x_{2i},...,x_{ni})$ que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones $\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}...\Delta x_{ni}$ para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por $x_{n+1}=f(x_{1},...,x_{n})$ y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

$f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta A_{i}=f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}$

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación $x_{n+1}=f(x_{1},...,x_{n})$ y la región T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

$\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}$

Esta aproximación mejora a medida que el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

$\lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}=\lim _{||\Delta ||\to 0}\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}$

El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo $\varepsilon >0$ existe un $\delta >0$ tal que

$\left|L-\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}\right\vert <\varepsilon$

para toda partición $\Delta$ de la región T (que satisfaga $||\Delta ||<\delta$), y para todas las elecciones posibles de $(x_{1i},x_{2i},...,x_{ni})$ en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:

Si f está definida en una región cerrada y acotada T del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de f sobre T está dada por:

$\iint \ldots \int _{T}\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\ldots \,dx_{n}=\lim _{||\Delta ||\to 0}\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}$

siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que f es integrable con respecto a T.

Utilidades

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