65537-gono

polígono con 65537 lados

En geometría, un 65537-gono es un polígono con 65.537 (216 + 1) lados. La suma de los ángulos interiores de cualquier 65537-gono que no sea autointersecante es de 11.796.300°. Presenta la particularidad de que se puede construir con regla y compás, al ser 65.537 un número de Fermat.

65537-gono
65537-gon.svg
Un 65537-gono regular
Características
Tipo Polígono regular
Lados 65.537
Vértices 65.537
Grupo de simetría Diedral (D65537), orden 2×65537
Símbolo de Schläfli {65537} (65537-gono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel 5.pngCDel 5.pngCDel 3x.pngCDel 7.pngCDel node.png
Polígono dual Autodual
Área
(lado )
Ángulo interior 179,994507°
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico

65537-gono regularEditar

El área de un 65537-gono normal es (con a = longitud del lado)

 

Un 65537-gono regular completo no se distingue visualmente de una circunferencia, y su perímetro difiere del de la circunferencia circunscrita en aproximadamente 15 partes por mil millones.

ConstrucciónEditar

El 65537-gono regular (uno con todos los lados iguales y todos los ángulos iguales) es de interés por ser un polígono construible: es decir, se puede construir usando un compás y una regla sin marcar. Esto se debe a que 65.537 es un número de Fermat, siendo de la forma 22n + 1 (en este caso n = 4).

Por lo tanto, los valores   y   son números algebraicos asociados a un polinomio de grado 32768 y, como cualquier número construible, se pueden escribir en términos de raíces cuadradas y no de raíces de orden superior.

Aunque Gauss sabía en 1801 que el 65537-gono regular era construible, Johann Gustav Hermes (1894) proporcionó la primera construcción explícita de un 65537-gono regular. La construcción es muy compleja; Hermes pasó 10 años completando el manuscrito de 200 páginas.[1]​ Otro método implica el uso de un máximo de 1332 círculos de Carlyle, y las primeras etapas de este método se muestran a continuación. Este método soluciona problemas prácticos, ya que uno de estos círculos de Carlyle resuelve la ecuación de segundo grado x2 + x − 16384 = 0 (siendo 16384 precisamente 214).[2]

 

SimetríaEditar

El 65537-gono regular tiene simetría diedral Dih65537, de orden 131.074. Dado que 65.537 es un número primo, hay un subgrupo con simetría diédrica: Dih1, y 2 simetrías grupo cíclico: Z65537 y Z1.

65537 gramaEditar

Un 65537 grama es una estrella de 65.537 lados. Como 65.537 es primo, hay 32.767 formas regulares representadas de la forma símbolos de Schläfli {65537/n}, para todos los números enteros 2 ≤ n ≤ 32768 como  .

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Johann Gustav Hermes (1894). «Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile». Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (en alemán) (Göttingen) 3: 170-186. 
  2. DeTemple, Duane W. (Feb 1991). «Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions». The American Mathematical Monthly 98 (2): 97-208. JSTOR 2323939. doi:10.2307/2323939. Archivado desde el original el 21 de diciembre de 2015. Consultado el 6 de noviembre de 2011. 

BibliografíaEditar

Enlaces externosEditar