Acción (matemática)

concepto matemático

En matemáticas, y en particular en álgebra abstracta, una acción de un grupo sobre un conjunto es una aplicación que cumple las dos condiciones siguientes:[1]

  1. , donde es el elemento neutro del grupo.
  2. .

En tal caso se dice que el grupo actúa sobre , y que el conjunto es un -conjunto.[2]

Las dos condiciones anteriores equivalen a que, para cada elemento de , la aplicación es una función biyectiva definida sobre . En consecuencia, una definición alternativa es que una acción es un homomorfismo entre el grupo y el grupo

.

donde denota el grupo formado por todas las funciones biyectivas de en sí mismo, bajo la operación de composición de funciones, denominado grupo simétrico de . Se dice que el homomorfismo es una representación del grupo por permutación.[3]

Notación alternativaEditar

Otra notación utilizada para las acciones es  . Así los axiomas de acción se reescriben:

  •  .
  •  .

Es frecuente denominar puntos a los elementos del conjunto  , para no causar confusión con los elementos del grupo  .

EjemplosEditar

El ejemplo más sencillo es la acción trivial: para cualquier   y  ,  . Cuando la acción es trivial, cada biyección   es la aplicación identidad del conjunto  , que lleva cada elemento en sí mismo.

El grupo de tres elementos   actúa sobre el plano complejo   de la siguiente manera:

  •  .
  •  .
  •  .

donde   es una raíz cúbica de la unidad distinta de 1 (si tomáramos la raíz   la acción sería trivial). Geométricamente, esta acción representa rotaciones del plano complejo respecto del origen, con ángulos de 0, 120 y 240 grados.

Un tipo importante de acción es aquella en la que   es un espacio vectorial. Este tipo de acciones son el punto de partida de la teoría de la representación.

El núcleo de la acción y los puntos fijosEditar

Se define el núcleo de una acción   como el conjunto de todos los elementos del grupo   que actúan trivialmente sobre todo punto de  :[4]

 .

Para cada elemento   del núcleo, la biyección asociada   es la identidad de  . Es por tanto el núcleo del homomorfismo  , y como tal es un subgrupo normal del  .

En contraste, se denominan puntos fijos de la acción a los elementos de   sobre los que todos los elemento de   actúan trivialmente, es decir:

  es un punto fijo si   para todo  .

Estabilizador y órbita de un puntoEditar

Para cada elemento   de un conjunto   sobre el que actúa un grupo  , podemos definir dos subconjuntos de interés.[5]

Subgrupos estabilizadoresEditar

El estabilizador de un punto   se compone de todos los elementos de   que actúan trivialmente sobre  

 .

Otra forma de expresarlo es que contiene a los elementos del grupo que dejan fijo  . En consecuencia, cuando   es un punto fijo su estabilizador es todo el grupo:  . El núcleo de la acción es precisamente la intersección de los estabilizadores de todos los puntos de  :

 .

  es un subgrupo de  , no necesariamente normal. También es llamado subgrupo de isotropía de  .[6]

Órbitas de la acciónEditar

La órbita de   se compone de todos los elementos de   que son imagen de   por la acción de algún elemento de  :[7]

 .

La órbita de   contiene a los elementos del conjunto   que se alcanzan desde   por la acción de  . Cuando   es un punto fijo de la acción, su órbita se reduce al propio  , esto es:  , y viceversa.

La relación «y pertenece a la órbita de x» es reflexiva, simétrica y transitiva, y por lo tanto es una relación de equivalencia. Por consiguiente, las órbitas bajo la acción de   forman una partición del conjunto  , lo que significa que las órbitas de dos elementos distintos o bien coinciden, o bien son disjuntas.

Relación entre órbitas y estabilizadoresEditar

Dado un punto arbitrario  , existe una biyección entre su órbita y las clases laterales derechas (o izquierdas) en   de su estabilizador  , es decir

 .[nota 1]

En particular, si   es un subgrupo de índice finito en  , la órbita de   es un conjunto finito y su cardinalidad es

 .[8]

Dos puntos de una misma órbita tienen estabilizadores conjugados por el elemento que lleva un punto en el otro:

Si   entonces  , donde  .

Lo anterior se deriva de que si   es un elemento que deja fijo el punto  , entonces

 .

Tipos de accionesEditar

  • Una acción se llama transitiva, o se dice que el grupo actúa transitivamente sobre un conjunto  , si dados dos elementos   e   cualesquiera de  , existe un elemento   del grupo que aplica   en  , es decir:
 .[9]
Cuando la acción de un grupo   es transitiva sobre un espacio topológico   decimos que éste es un espacio homogéneo para el grupo  .[10]
  • Una acción se llama n-transitiva si dadas dos  -tuplas de elementos del conjunto  ,   e   diferentes dos a dos (esto es,   e   para todo  ), existe un elemento   del grupo que aplica   en   para cada  . Las acciones 2-transitivas se denominan también acciones doblemente transitivas, las 3-transitivas triplemente transitivas, etc.
  • Una acción doblemente transitiva satisface la siguiente definición equivalente: una acción es doblemente transitiva si dado cualquier punto  , el estabilizador   actúa transitivamente sobre los puntos restantes (es decir, es transitiva sobre  ). [11]
  • Una acción es fiel o efectiva si el núcleo de la acción es trivial, es decir, el elemento identidad de   es el único que actúa trivialmente sobre todo punto de  . Esta condición es equivalente a que el homomorfismo   sea inyectivo, y por tanto cada biyección   sea distinta.[12]
  • Una acción es libre, o se dice que el grupo actúa libremente, si el único elemento de   con puntos fijos es la identidad, es decir
  (donde   denota la identidad de  ).

Acción de un grupo sobre sí mismoEditar

Cuando el conjunto sobre el que actúa un grupo   es el propio grupo, es decir  , decimos que el grupo actúa sobre sí mismo. Las dos maneras más interesantes en las cuales un grupo puede actuar sobre sí mismo son por multiplicación y por conjugación.

Acción por multiplicaciónEditar

Todo grupo   actúa sobre sí mismo por multiplicación[nota 2]​ por la izquierda (respectivamente, por la derecha) mediante la acción definida por[13]

  (respectivamente  ).

Esta acción es fiel (de hecho, el estabilizador de todo punto es trivial), transitiva, y existe una única órbita que abarca todo  . Las acciones de multiplicación por la izquierda y multiplicación por la derecha coinciden precisamente cuando el grupo   es abeliano.

El hecho de que para todo grupo la acción por multiplicación sea fiel, significa que el homomorfismo

 

es inyectivo. Por el primer teorema de isomorfía, esto significa que el grupo   es isomorfo a un subgrupo de su propio grupo simétrico. En particular, si   es finito de orden  , entonces es isomorfo a un subgrupo del grupo de permutaciones de n elementos,  . Este resultado se conoce con el nombre de teorema de Cayley.[14]

Acción por conjugaciónEditar

Por otro lado, todo grupo   actúa sobre sí mismo por conjugación mediante la acción definida por[15]

 .

El estabilizador de cada punto   está formado por los elementos de   que conmutan con  , es decir, el centralizador de  :

 

Cuando el grupo es abeliano la acción del grupo en sí mismo por conjugación es trivial. Nótese que entonces

 .

Las órbitas bajo esta acción se denominan clases de conjugación. Los elementos del centro del grupo (formado por aquellos elementos que conmutan con cualquier otro, denotado por  ) forman cada uno de ellos una clase unipuntual (i.e. son puntos fijos). El recíproco también es cierto, es decir, si la clase de conjugación de un elemento   solo contiene a ese elemento entonces   pertenece al centro de  , esto es:

 .

Ecuación de clasesEditar

La acción por conjugación de un grupo en sí mismo permite obtener la descomposición orbital de grupos finitos:

 

que es la unión disjunta de todas las clases de conjugación  . En consecuencia

 

Por un lado distinguimos los elementos del centro, cada uno en su propia clase unitaria, y por otro el resto de clases:

  • De las primeras hay una clase por cada elemento del centro, y cada una tiene cardinalidad 1.
  • Para el resto de clases de conjugación, si   es un representante de la clase   se tiene que
 .

Uniendo ambos resultados se obtiene la ecuación de clases para el orden de  :[16]

 

donde   es un conjunto de representantes de cada una de las clases de conjugación no contenidas en el centro de  . La ecuación de clases permite derivar algunos resultados para los grupos finitos como el teorema de Cauchy y los teoremas de Sylow.

NotasEditar

  1. Aquí se debe entender el símbolo   como el conjunto cociente de   bajo la relación de equivalencia determinada por las clases laterales, bien sean derechas o izquierdas, pues no se puede asegurar que   sea un subgrupo normal.
  2. Aunque es habitual utilizar la palabra multiplicación o producto, en realidad se hace referencia a la operación del grupo, sea cual sea.

ReferenciasEditar

Bibliografía referenciadaEditar

Bibliografía adicionalEditar

  • N.I.Herstein
  • Serge Lang
  • Marshall Hall
  • Burnside
  • A.G.Kurosch
  • Gallian, Joseph A. (2012). Contemporary Abstract Algebra (9ª edición). Cengage. p. 656. ISBN 9781305657960. 
  • Dorronsoro

Enlaces externosEditar