Abrir menú principal

Sea un anillo y cualquier conjunto. El conjunto contiene los elementos de la forma:

(1),

en donde , , y cada -tupla de números naturales es diferente para diferente valor de , se dice anillo de polinomios con indeterminadas en sobre .

Índice

IntroducciónEditar

Los polinomios más conocidos son los que tienen coeficientes enteros.

Ejemplo:

Sea   el anillo   y  , un elemento de   es un polinomio de dos variables como:

 

El conjunto de indeterminadas   puede ser un conjunto infinito, pero cada polinomio contiene un número finito de términos.[cita requerida]

Si  , entonces se puede escribir   en lugar de  . Así,   es un anillo de polinomios en una sola indeterminada  .

A cada elemento   le corresponde un polinomio (monomio, de hecho) en   como:

 

ya que  , por lo que   es un subanillo de  .

Propiedades fundamentalesEditar

Hechos de interés sobre anillos de polinomios tienen que ver con las propiedades del mismo a partir del anillo en el que tienen sus coeficientes. Por ejemplo, cuando   es un dominio íntegro,   también lo es, y las unidades de   son las mismas que las de  . Por el contrario   nunca será un cuerpo, no importando que   lo sea o no, pues aunque las unidades de   sean las mismas que las de  ,   es tan sólo un subanillo de  . Sin embargo, el anillo   es un dominio integro si   lo es, luego, dado el caso, se puede construir el cuerpo de cocientes de   (i.e. el cuerpo de fracciones de polinomios), que se denota comúnmente por  .

Los coeficientes de los polinomios de un anillo   pueden tomarse no solo como los elementos de  . En la práctica podemos hacer agrupaciones del tipo

 

y éstas también deben hacerse en un anillo de polinomios  . Para ello se separan los elementos de   en dos conjuntos disjuntos, digamos   y  , luego el anillo de polinomios   tiene coeficientes en el anillo de polinomios   e indeterminadas en  . Si   es un anillo y  , claramente   es un subanillo de  .

Sea   un anillo unitario. Todo polinomio no nulo de   cuyo coeficiente director sea una unidad puede dividir euclídeamente a cualquier otro polinomio de   y el grado del resto es estrictamente menor que el grado de del divisor. Es decir, si   y   son polinomios de   no nulos, con el coeficiente director de   una unidad de  , entonces existen polinomios   y   de   tales que

  con  

Así, para que la división de polinomios sea siempre posible en un anillo de polinomios  ,   debe de ser un cuerpo (i.e. todo elemento de A debe ser una unidad), y si así sucede   será un dominio euclídeo. Un hecho muy importante es que un anillo de polinomios   es un dominio de ideales principales (DIP) si y sólo si   es un cuerpo. Puesto que todos los dominios euclídeos son DIPs, tenemos que   no es un dominio euclídeo si   contiene más de un elemento, pues  , y   nunca es un cuerpo y por tanto tampoco un DIP.

Definición formalEditar

Los monomios purosEditar

La definición formal de los anillos de polinomios parte de la definición de los monomios puros (sin coeficientes en un anillo; en muchos contextos, la palabra monomio corresponde a este significado, utilizándose entonces la palabra término para designar el producto de un coeficiente del anillo y un monomio). Notar que si   es un conjunto y, por ejemplo,  , un monomio a partir de   puede ser

(3) .

En el monomio anterior, cada uno de los elementos   tiene un exponente natural. Por tanto, podemos considerar a cada monomio con indeterminadas en   como una aplicación   (aquí y en el resto del artículo consideramos que   incluye al cero). El monomio (3) sería entendido entonces como la aplicación   dada por  ,  ,   y donde   se anula para todos los demás elementos (si estos existen) de  . Observar que un monomio puro es el producto de un número finito de indeterminadas. Aunque   sea infinito, podemos obtener un monomio   haciendo que   sea nulo para todas aquellas indeterminadas que no queremos que aparezcan en el monomio. Por ejemplo, si  , el monomio

(4) ,

se corresponde con la aplicación   dada por  ,   y  .


En vista de las consideraciones anteriores, la definición de un conjunto de monomios ha de ser la siguiente:


Sea   un conjunto. El conjunto de los monomios con indeterminadas en  , representado por  , es el conjunto de todas las aplicaciones   tales que el conjunto   es finito.


Si  , se definen las aplicaciones   y  , donde  , mediante

  y  

para todo  .


Estas aplicaciones están bien definidas, y claramente   y  . Vemos pues que si   son aplicaciones de  ,   se interpreta como el producto de los monomios representados por   y  , y si   es un número natural,   se interpreta como la potencia  -sima del monomio representado por  .


Nótese que el monomio   de   que toma constantemente el valor 0 es tal que

  y  

para todo  . Así, este monomio se representa por el mismo símbolo 0.


Obsérvese que el elemento   se interpreta en  , claramente, como la aplicación   que vale 1 en   y 0 en cualquier otro caso. En estos términos cualquier monomio   de   puede escribirse como

(5) ,

donde   son los elementos de   para los cuales la aplicación   no se anula (por definición, estos elementos son siempre un número finito). Claramente, cada término

(6) 

de (5) representa el factor   en el monomio representado por  . Es decir, (5) se entiende como el monomio

(7) 

Polinomios con coeficientes en un anilloEditar

Para dar paso a la definición de un anillo de polinomios, observemos que un polinomio, como (2), es una suma finita de monomios multiplicados por coeficientes en un anillo (en el caso de (1) los coeficientes son enteros). Así, por ejemplo, es suficiente asociar el polinomio (1) con una aplicación  , donde  , tal que   toma el valor del coeficiente correspondiente cuando se evalúa en un monomio  . En vista de esto tenemos:


Sean   un conjunto,   un anillo y   el conjunto de monomios de la definición 1. El anillo de polinomios con indeterminadas en   sobre   es el conjunto   de todas las aplicaciones   tales que el conjunto   es finito.

Podemos considerar ahora los monomios con coeficientes en el anillo   como casos especiales de polinomios. Si   es unitario, entonces podemos considerar al polinomio   que vale 1 en   y 0 en cualquier otro caso como el monomio   mismo. Para ver que, en realidad, tanto   como   son, desde el punto de vista algebraico, un subconjunto de   y que efectivamente   es un anillo que contiene a   como un subanillo, es necesario definir las operaciones de anillo sobre  .

Operaciones sobre  Editar

DefinicionesEditar

La adición sobre   claramente ha de definirse así:

Sean   polinomios de  . Se define   como la aplicación dada por

(8) 

para todo monomio  . Es claro que  .


Esta definición se interpreta como la reducción de los términos semejantes (i.e. los coeficientes de un mismo monomio  ) de   y  .


Cuando multiplicamos polinomios, acostumbramos sumar los términos semejantes que surjan en el producto para obtener un polinomio lo más reducido posible. En vista de esto, tenemos la definición de la multiplicación en  :


Sean   polinomios de  . Se define   como la aplicación dada por

(9) 

para todo monomio  . El miembro derecho de (9) es la suma de todos los productos   tales que  . La aplicación   es claramente un polinomio de  .

Propiedades de anilloEditar

Respecto de las operaciones de adición y multiplicación, según han sido definidas, el conjunto   cumple con que:


  es un anillo Si   es un anillo y   es un conjunto entonces   es un anillo.

ReferenciasEditar

BibliografíaEditar