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Los axiomas de Hilbert son un conjunto de 20 (originalmente 21) hipótesis propuestas por David Hilbert en 1899 como el fundamento para un tratamiento moderno de la geometría euclídea. Otras axiomatizaciones modernas bien conocidas de la geometría euclídea son las debidas a Alfred Tarski y a George Birkhoff.

Índice

Los axiomasEditar

El sistema axiomático de Hilbert se compone de nueve nociones primitivas: Tres términos primitivos:

puntolínea rectaplano,

y seis relaciones primitivas:

  • Orden, una relación ternaria entre puntos;
  • Pertenencia, tres relaciones binarias, una de ellas entre puntos y rectas, otra entre puntos y planos, y otra entre rectas y planos;
  • Congruencia, dos relaciones binarias, una entre segmentos y otra entre ángulos, denotadas por  .

Nótese que los segmentos y los ángulos (así como también los triángulos) no son nociones primitivas, sino que se definen en términos de puntos y rectas utilizando las relaciones de orden y pertenencia. Todos los puntos, rectas y planos en los subsecuentes axiomas son distintos salvo que se indique lo contrario.

I. CombinaciónEditar

  1. Dos puntos distintos   y   determinan una única recta  . Denotamos   ó  . En lugar de "determinan", puede decirse: "  está en  ", "  es un punto de  ", "  pasa por   y  ", "  une   con  ", etc. Si   está en   y al mismo tiempo en otra recta  , se dice también "Las rectas   y   tienen el punto   en común".
  2. Dos puntos cualquiera de una recta la determinan por completo; es decir, si   y  , donde en general  , entonces   a su vez.
  3. Tres puntos  ,   y   no situados en una misma recta determinan un plano  . Se denota  , y se dice " ,   y   yacen en  ", etc.
  4. Tres puntos cualesquiera  ,   y   del plano   no situados en una misma recta determinan por completo a  .
  5. Si dos puntos  ,   de la recta   yacen en el plano  , entonces todo punto de   yace en  . En tal caso se dice "la recta   yace en el plano  ", etc.
  6. Si dos planos  ,   tienen un punto   en común, entonces tienen al menos otro punto   en común.
  7. En cada recta hay al menos dos puntos; en cada plano hay al menos tres puntos no situados en la misma recta; y existen al menos cuatro puntos no situados en un mismo plano.

II. OrdenEditar

  1. Si un punto   está entre los puntos   y  , también está entonces entre   y  , y existe una recta que contiene a los tres.
  2. Si   y   son dos puntos de una recta, existe al menos otro punto   entre   y  , y al menos un punto   de tal manera que   está entre   y  .
  3. Dados tres puntos en una recta, solo uno de ellos está entre los otros dos.

Dada una pareja de puntos   y  , puede hablarse entonces del segmento  . Los puntos del segmento   son todos aquellos que están entre   y  . Estos dos son los extremos del segmento.

  1. Axioma de Pasch: Sean  ,   y   tres puntos no situados en la misma recta y sea   una recta contenida en el plano  , que no pasa por ninguno de los tres puntos mencionados. Entonces, si   pasa por algún punto del segmento  , entonces pasa también por algún punto o bien del segmento   o bien del segmento  .

Puede probarse entonces que dadas una recta   y un punto   en ella, puede dividirse la recta en dos  , disjuntos entre sí, que emanan de  , tales que su unión constituye toda la recta a excepción de  . De igual modo, dados un plano   y una recta   en el, pueden distinguirse en él dos partes disjuntas, los lados de   respecto a  , donde de nuevo su unión constituye todo el plano a excepción de  .

III. ParalelasEditar

  1. En un plano   puede encontrarse una única recta   que pase por un punto dado  , el cual no pertenece a una recta dada  , de forma que   y   no tengan ningún punto en común. Está recta se llama la paralela a   que pasa por  .

IV. CongruenciaEditar

Se define un ángulo como una pareja de semirayos   yaciendo en un plano   que emanan del mismo punto  . Se demuestra que puede dividirse entonces el plano en dos regiones: el interior y el exterior de  , donde   y   son los lados del ángulo y   su vértice. El segmento entre dos puntos cualesquiera del interior está contenido por completo en dicha región. Esto no se cumple para una pareja de puntos cualesquiera en el exterior.

Un triángulo queda definido por tres segmentos de la forma  ,   y  . Dichos segmentos son los lados del triángulo, y los tres puntos  ,   y   son su vértices. El triángulo divide el plano definido por sus tres vértices en interior y exterior, con las mismas propiedades que en caso de los ángulos. Al ángulo definido por los dos semirayos que salen de   y que pasan por   y   respectivamente se le denota por  , y su interior contiene todos los puntos del interior del triángulo  .

  1. Si  ,   son dos puntos de la recta  , y   es un punto sobre la recta   (sea esta igual a   o no), se tiene que, de un lado cualquiera de   en la recta  , existe un único   tal que el segmento   es congruente con el segmento  , y lo denotamos por  . Todo segmento es congruente consigo mismo.
  2. Si un segmento   es congruente con el segmento   y también con el segmento  , entonces estos dos últimos son congruentes entre sí (la congruencia entre segmentos es transitiva).
  3. Sean   y   dos segmentos de la misma recta sin puntos en común a excepción de  , y sean además   y   dos segmentos de la recta   (sea ésta igual o no a  ) sin más puntos en común que  . Entonces, si   y  , se tiene que  .
  4. Sea un ángulo   en el plano   y sea una recta   en el plano  . Supóngase que en el plano  , se escoge uno de los lados respecto a  . Sea un semirayo   de   que emana de un punto   de dicha recta. Entonces, en el plano   existe un único semirayo   que sale de   de forma que   es congruente con  , y de forma que todos los puntos del interior de   están en el lado escogido de  . Se denota por  . Todo ángulo es congruente consigo mismo.
  5. Si el ángulo   es congruente con el ángulo   y con el ángulo  , entonces estos dos son congruentes entre sí.
  6. Si dados dos triángulos   y   se tiene  ,  ,  , entonces se tiene a su vez   y  .

V. ContinuidadEditar

  1. Axioma de Arquímedes. Sea   un punto cualquiera de una recta, situado entre los puntos arbitrarios   y   de la misma. Tómense los puntos  ,  ,... de tal manera que   esté entre   y  ,   esté entre   y  ,etc. Supóngase además que los segmentos  ,  ,  ,... son todos congruentes entre sí. Entonces, en esta serie existe siempre un cierto   tal que   está entre   y  .

Axioma de completitudEditar

Al sistema de puntos, rectas y planos, no pueden añadirse otros elementos de manera que el sistema resultante forme una geometría nueva, obedeciendo todos los axiomas de los cinco grupos. En otras palabras, los elementos de la geometría forman un sistema que no es susceptible de extensión, tomando los cinco grupos de axiomas como válidos.

Axioma 21Editar

Hilbert introdujo un axioma más que reza:

II.4. Teorema de Pasch. Pueden escogerse cuatro puntos cualesquiera  ,  ,   y   de una recta de forma que   esté entre   y   y entre   y  , y que   esté entre   y   y entre   y  .

[1]​Esta proposición calificada como teorema fue considerada como axioma en la primera edición, pero E.H Moore en[2]​Transactions of the american mathematical society, 1992, la dedujo como consecuencia de los axiomas de combinación y orden establecidos.

R. L. Moore demostró que este axioma es redundante en 1902.

ReferenciasEditar

  1. Fundamentos de la geometría, David hilbert, traducción a la 7º edición alemana. Pag 8
  2. Eliakim Hastings Moore (Jan., 1902). «On the Projective Axioms of Geometry» (en eng).