Axiomas de los números reales

En matemáticas para que una afirmación sea considerada válida debe o bien estar contenida dentro de una base de afirmaciones de partida, los denominados axiomas, o debe poder demostrarse a partir de los mismos. Los axiomas son por tanto los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, y a partir de ellos, mediante las demostraciones matemáticas, se deduce la veracidad de cualquier afirmación.

Los axiomas serán, por tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas y que su veracidad no puede ser demostrada a partir de otros axiomas. Un axioma no se caracteriza por si resulta una afirmación trivial o intuitiva, siendo el axioma de elección un ejemplo de un axioma que no resulta trivial.

El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: «afirmación no trivial», son los teoremas, que son afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.

Existen tres tipos de axiomas: los axiomas algebraicos, los axiomas de orden y el axioma topológico.

El primero, trata de las propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la división; el segundo establece un orden para los elementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre la noción de continuidad.

Axioma fundamental

Existe un conjunto que se denota por $\mathbb {R}$ que satisface los tres tipos de axiomas mencionados, de orden, algebraicos y topológicos.

El conjunto que cumple con estas propiedades se llama conjunto de los números reales y los axiomas de este conjunto comprenden las bases del análisis matemático.

Se puede observar que, usando el lenguaje lógico matemático, los teoremas que se demuestren, serán válidos si los axiomas son válidos, por lo que los teoremas serán del tipo: Si el axioma Fundamental es cierto, entonces la afirmación es cierta.

Axiomas algebraicos

Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de la adición y de la multiplicación.

Axiomas de la adición

A1.1 Para todo $x,y\in \mathbb {R}$, existe un único elemento, también en $\mathbb {R}$, denotado por ${\mathit {x}}+{\mathit {y}}\,\!$ que llamamos la suma de ${\mathit {x}}\,\!$ e ${\mathit {y}}\,\!$. A1.2 ${\mathit {x}}+{\mathit {y}}={\mathit {y}}+{\mathit {x}}\,\!$ para todo $x,y\in \mathbb {R}$. A1.3 $({\mathit {x}}+{\mathit {y}})+{\mathit {z}}={\mathit {x}}+({\mathit {y}}+{\mathit {z}})\,\!$ para todo $x,y,z\in \mathbb {R}$. A1.4 Existe un elemento de $\mathbb {R}$, denotado por $\mathrm {0} \,\!$ tal que ${\mathit {x}}+0={\mathit {x}}\,\!$ para todo $x\in \mathbb {R}$. A1.5 Para cada $x\in \mathbb {R}$ existe un $y\in \mathbb {R}$ tal que ${\mathit {x}}+{\mathit {y}}=0\,\!$.

Axiomas de la multiplicación

A2.1 Para todo $x,y\in \mathbb {R}$, existe un único elemento, también en $\mathbb {R}$, denotado por $xy\,\!$ que llamaremos el producto de $x\,\!$ e $y\,\!$. A2.2 $xy=yx\,\!$ para todo $x,y\in \mathbb {R}$. A2.3 $(xy)z=x(yz)\,\!$ para todo $x,y,z\in \mathbb {R}$. A2.4 Existe un elemento de $\mathbb {R}$, que denotaremos por $1\,\!$ tal que $1x=x1=x\,\!$ y además $1\neq 0\,\!$. A2.5 Para cada $x\in \mathbb {R}$ tal que no sea cero, existe un $y\in \mathbb {R}$ tal que $xy=1\,\!$.

Axioma de distribución

Este axioma conecta la suma o resta con la multiplicación:

A3.1 Para todo $x,y,z\in \mathbb {R} \,\,(x+y)z=xz+yz$.

Análisis axiomático 

• El axioma (1.2) conocido como «propiedad conmutativa» dice que el orden de los sumandos no altera el valor de la suma. Se generaliza para n sumandos.
• El axioma (1.3) conocido como «propiedad asociativa de la suma» dice que la asociación de la suma no altera el valor de esta.
• El axioma (1.4) dice que existe un elemento en los números reales que, al ser sumado con cualquier número real, sigue siendo ese mismo real. Este real se llama cero, y se conoce también como el elemento «neutro aditivo de este conjunto».
• El axioma (1.5) dice que dado un número real cualquiera existe otro (único) tal que la suma de ambos es nula (es 0). Si este elemento es $x\,\!$, el número tal que la suma de este y el otro número sea cero es $(-x)\,\!$. Este elemento se llama «opuesto aditivo» de $x\,\!$.
• El axioma (2.2) dice que el orden de los factores no altera el producto.
• El axioma (2.3) dice que el orden con que elijamos los factores no afecta el producto. Esta propiedad se conoce como «propiedad asociativa de la multiplicación».
• El axioma (2.4) dice que existe un número real tal que el producto de este con otro real, sigue siendo este último. Este elemento denotado por $1\,\!$ se conoce como «neutro multiplicativo».
• El axioma (2.5) dice que para cualquier real $x\,\!$ no nulo, existe otro, tal que el producto de ambos da como resultado el neutro multiplicativo. Este elemento denotado por $x^{-1}=1/x={\frac {1}{x}}\,\!$ se conoce como «inverso multiplicativo» de $x\,\!$.

Axiomas de orden

Los axiomas de orden establecen una relación de cantidad. Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un número es «menor» que otro si está contenido en este, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra.

Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo $<\,\!$ que nos dirá si un número es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo $=\,\!$ que ya conocemos.

Se dirá que $x<y\,\!$ o $y>x\,\!$ solo si $x\,\!$ es menor que $y\,\!$. O dicho de otra forma, si $y\,\!$ es mayor que $x\,\!$.

De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto $O\subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,\!$ tal que $x<y\,\!$ si y solo si $(x,y)\in O\,\!$.

O1.1 Si $x,y\in \mathbb {R} \,\!$, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones: $x<y\,\!$; $x=y\,\!$; $x>y\,\!$ O1.2 Si $x<y\,\!$ y además $y<z\,\!$, entonces $x<z\,\!$. O1.3 Si $x<y\,\!$, entonces $x+z<y+z\,\!$ para todo $z\in \mathbb {R} \,\!$ O1.4 Si $x<y\,\!$ y $z>0\,\!$, entonces $xz<yz\,\!$.

Análisis axiomático

• El axioma (1.2) dice geométricamente que si $x\,\!$ está a la izquierda de $y\,\!$ y este a su vez a la izquierda de $z\,\!$, entonces debe estar $x\,\!$ en la izquierda de $z\,\!$. Esta interpretación es bastante útil.

(R,+, ⋅ , ≤) es un cuerpo ordenado.

Axioma topológico

Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no son suficientes para demostrar la existencia de un número irracional, como ${\sqrt {2}}$ por ejemplo. Para esto es necesario el siguiente Axioma topológico:

Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.

Análisis axiomático

Hay varios conceptos que deben conocerse para entender el significado de este axioma: sucesión creciente, acotado superiormente y convergencia.

Dada una sucesión infinita de números reales $\{x_{i}\}=(x1,x2,x3,\cdots )$, decimos que es creciente si $x_{i}\leq x_{i+1}$ para todo $i$. La sucesión es acotada superiormente si existe una constante real $c$ tal que $x_{i}\leq c$ para todo $i$. Bajo estas hipótesis, el axioma topológico nos garantiza que la sucesión es convergente, es decir, existe un número real $x$ límite de la sucesión $\lim _{i\rightarrow \infty }x_{i}=x$.

Puede verse que los números racionales no satisfacen este axioma. Por ejemplo, si se toma la secuencia de aproximaciones decimales de ${\sqrt {2}}$, donde $x_{1}=1,4$, $x_{2}=1,41$, $x_{3}=1,414$, y en general $x_{n}$ es el número con las primeras $n$ cifras decimales de ${\sqrt {2}}=1,4142135...$, entonces todos los $x_{i}$ son números racionales que satisfacen las condiciones del axioma, pero el límite no se encuentra en los racionales. Por otra parte, el axioma topológico nos asegura que existe un número real que es el límite de cualquier sucesión de cifras decimales parciales de una secuencia de dígitos arbitraria. De esta forma las representaciones decimales infinitas no periódicas representan siempre números reales, y es posible demostrar que todo número real puede escribirse como el límite de una de estas secuencias, aunque no siempre de manera única.

También se le conoce como el Axioma del Supremo, o axioma de completitud o de continuidad porque garantiza que los números reales “completan” la recta,​​ Siendo la formulación equivalente en términos de cotas superiores y del supremo de un conjunto la que sigue:​

Si $A\subseteq \mathbb {R}$ es un conjunto no vacío acotado superiormente en $\mathbb {R}$ , entonces $A\,$ tiene supremo en $\mathbb {R}$

Siguiendo con el ejemplo de la sucesión $\{x_{n}\}$ de aproximaciones decimales por defecto de ${\sqrt {2}}$, haciendo que $A=\{a\in \mathbb {R} |a=x_{n},n\in \mathbb {N} \}$, se tiene que:

1. $A$ es un conjunto no vacío pues, por ejemplo, $x_{1}=1,4$ está en $A$,
2. y $A$ es acotado superiormente, o mayorado, pues por ejemplo, 2 es cota superior de $A$, ya que $a\leq 2$ para todo elemento a de $A$

Así que existe la mínima o menor de las cotas superiores de $A$, o supremo de $A$, denotado por $\sup {A}$. De hecho, por la discusión anterior, se sabe que $\sup {A}={\sqrt {2}}$.

Véase también

• Acotado
• Cálculo
• Límite de una sucesión
• Número real
• Principio de buena ordenación
• Sucesión matemática
• Teorema
• Axioma del supremo

Referencias

• Datos: Q2584477