Axiomas de los números reales

En matemáticas para que una afirmación sea considerada válida debe o bien estar contenida dentro de una base de afirmaciones de partida, los denominados axiomas, o debe poder demostrarse a partir de los mismos. Los axiomas son por tanto los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, y a partir de ellos, mediante las demostraciones matemáticas, se deduce la veracidad de cualquier afirmación.

Los axiomas serán, por tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas y que su veracidad no puede ser demostrada a partir de otros axiomas. Un axioma no se caracteriza por si resulta una afirmación trivial o intuitiva, siendo el axioma de elección un ejemplo de un axioma que no resulta trivial.

El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: «afirmación no trivial», son los teoremas, que son afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.

Existen tres tipos de axiomas: los axiomas algebraicos, los axiomas de orden y el axioma topológico.

El primero, trata de las propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la división; el segundo establece un orden para los elementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre la noción de continuidad.

Axioma fundamentalEditar

Existe un conjunto que se denota por   que satisface los tres tipos de axiomas mencionados, de orden, algebraicos y topológicos.

El conjunto que cumple con estas propiedades se llama conjunto de los números reales y los axiomas de este conjunto comprenden las bases del análisis matemático.

Se puede observar que, usando el lenguaje lógico matemático, los teoremas que se demuestren, serán válidos si los axiomas son válidos, por lo que los teoremas serán del tipo: Si el axioma Fundamental es cierto, entonces la afirmación es cierta.

Axiomas algebraicosEditar

Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de la adición y de la multiplicación.

Axiomas de la adiciónEditar

A1.1 Para todo  , existe un único elemento, también en  , denotado por   que llamamos la suma de   e  .
A1.2   para todo  .
A1.3   para todo  .
A1.4 Existe un elemento de  , denotado por   tal que   para todo  .
A1.5 Para cada   existe un   tal que  .

Axiomas de la multiplicaciónEditar

A2.1 Para todo  , existe un único elemento, también en  , denotado por   que llamaremos el producto de   e  .
A2.2   para todo  .
A2.3   para todo  .
A2.4 Existe un elemento de  , que denotaremos por   tal que   y además  .
A2.5 Para cada   tal que no sea cero, existe un   tal que  .

Axioma de distribuciónEditar

Este axioma conecta la suma o resta con la multiplicación:

A3.1 Para todo  .
Análisis axiomático 
  • El axioma (1.2) conocido como «propiedad conmutativa» dice que el orden de los sumandos no altera el valor de la suma. Se generaliza para n sumandos.
  • El axioma (1.3) conocido como «propiedad asociativa de la suma» dice que la asociación de la suma no altera el valor de esta.
  • El axioma (1.4) dice que existe un elemento en los números reales que, al ser sumado con cualquier número real, sigue siendo ese mismo real. Este real se llama cero, y se conoce también como el elemento «neutro aditivo de este conjunto».
  • El axioma (1.5) dice que dado un número real cualquiera existe otro (único) tal que la suma de ambos es nula (es 0). Si este elemento es  , el número tal que la suma de este y el otro número sea cero es  . Este elemento se llama «opuesto aditivo» de  .
  • El axioma (2.2) dice que el orden de los factores no altera el producto.
  • El axioma (2.3) dice que el orden con que elijamos los productos no afecta el producto. Esta propiedad se conoce como «propiedad asociativa de la multiplicación».
  • El axioma (2.4) dice que existe un número real tal que el producto de este con otro real, sigue siendo este último. Este elemento denotado por   se conoce como «neutro multiplicativo».
  • El axioma (2.5) dice que para cualquier real   no nulo, existe otro, tal que el producto de ambos da como resultado el neutro multiplicativo. Este elemento denotado por   se conoce como «inverso multiplicativo» de  .

Axiomas de ordenEditar

Los axiomas de orden establecen una relación de cantidad. Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un número es «menor» que otro si está contenido en este, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra.

Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo   que nos dirá si un número es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo   que ya conocemos.

Se dirá que   o   solo si   es menor que  . O dicho de otra forma, si   es mayor que  .

De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto   tal que   si y solo si  .


O1.1 Si  , entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones:
 ;  ;  
O1.2 Si   y además  , entonces  .
O1.3 Si  , entonces   para todo  
O1.4 Si   y  , entonces  .
O1.5 Si   y  , entonces  .

Análisis axiomáticoEditar

  • El axioma (1.2) dice geométricamente que si   está a la izquierda de   y este a su vez a la izquierda de  , entonces debe estar   a la izquierda de  . Esta interpretación es bastante útil.

(R,+, ⋅ , ≤) es un cuerpo ordenado.

Axioma topológicoEditar

Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no son suficientes para demostrar la existencia de un número irracional, como   por ejemplo. Para esto es necesario el siguiente Axioma topológico:


Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.

Análisis axiomáticoEditar

Hay varios conceptos que deben conocerse para entender el significado de este axioma: sucesión creciente, acotado superiormente y convergencia.

Dada una sucesión infinita de números reales  , decimos que es creciente si   para todo  . La sucesión es acotada superiormente si existe una constante real   tal que   para todo  . Bajo estas hipótesis, el axioma topológico nos garantiza que la sucesión es convergente, es decir, existe un número real   límite de la sucesión  .

Puede verse que los números irracionales no satisfacen este axioma. Por ejemplo, si se toma la secuencia de aproximaciones decimales de  , donde  ,  ,  , y en general   es el número con las primeras   cifras decimales de  , entonces todos los   son números racionales que satisfacen las condiciones del axioma, pero el límite no se encuentra en los racionales. Por otra parte, el axioma topológico nos asegura que existe un número real que es el límite de cualquier sucesión de cifras decimales parciales de una secuencia de dígitos arbitraria. De esta forma las representaciones decimales infinitas no periódicas representan siempre números reales, y es posible demostrar que todo número real puede escribirse como el límite de una de estas secuencias, aunque no siempre de manera única.

Véase tambiénEditar