Se ha sugerido que este artículo o sección sea fusionado en «Espacio dual ». Motivo : los argumentos están expuestos en la página de discusión .Una vez que hayas realizado la fusión de contenidos, pide la fusión de historiales aquí . Este aviso fue puesto el 20 de febrero de 2017.
En álgebra lineal, una base dual o base biortogonal es un conjunto de vectores que forman una base para el espacio dual de un espacio vectorial. Para un espacio vectorial V de dimensiones finitas, el espacio dual V * es isomorfo a V y para cualquier conjunto dado de vectores base {e 1 , …, e n } de V , hay asociada una base dual {e 1 ,...,e n } de V * con la relación
e
∗
i
⋅
e
j
=
{
1
,
si
i
=
j
0
,
si
i
≠
j
{\displaystyle {{\mathbf {e} }^{*}}^{i}\cdot {{\mathbf {e} }_{j}}=\left\{{\begin{matrix}1{\text{,}}&{\text{si }}i=j\\0{\text{,}}&{\text{si }}i\neq j\\\end{matrix}}\right.}
Concretamente, podemos escribir vectores en un espacio vectorial V de n dimensiones como una matriz de columna de n × 1 dimensiones y los elementos del espacio dual V * como matrices de fila de 1 × n que actúan como funcionales lineales por medio de la multiplicación matricial a la izquierda.
También se usa la delta de Kronecker como nomenclatura para la definición anterior como sigue
e
∗
i
⋅
e
j
=
δ
j
i
{\displaystyle {{\mathbf {e} }^{*i}}\cdot {{\mathbf {e} }_{j}}=\delta _{j}^{i}}
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
Y en muchos textos de álgebra lineal también es común representar el producto punto o interno de dos vectores únicamente encerrando en un paréntesis el segundo vector como sigue
e
∗
i
(
e
j
)
=
δ
j
i
{\displaystyle {{\mathbf {e} }^{*i}}\left({{\mathbf {e} }_{j}}\right)=\delta _{j}^{i}}
Así como asumir que son vectores sin usar negritas, debido ya sea a que están en un producto punto o a que no tienen subíndices o superíndices como sigue:
e
∗
i
(
e
j
)
=
δ
j
i
{\displaystyle {{e}^{*i}}\left({{e}_{j}}\right)=\delta _{j}^{i}}
Para el caso de un espacio tridimensional, teniendo una base dada e , se puede encontrar la base biortogonal (dual) por medio de estas fórmulas:
e
1
∗
=
[
e
2
;
e
3
]
(
e
1
;
e
2
;
e
3
)
,
e
2
∗
=
[
e
1
;
e
3
]
(
e
1
;
e
2
;
e
3
)
,
e
3
∗
=
[
e
1
;
e
2
]
(
e
1
;
e
2
;
e
3
)
{\displaystyle e_{1}^{*}={\frac {\left[e_{2};e_{3}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)}},e_{2}^{*}={\frac {\left[e_{1};e_{3}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)}},e_{3}^{*}={\frac {\left[e_{1};e_{2}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)}}}
Cuyo uso se aclara mejor con el siguiente ejemplo.
Encontrar la base dual para un espacio en R 3 cuyas bases están dadas por:
e
1
=
[
5
−
2
6
]
e
2
=
[
−
3
−
1
−
4
]
e
3
=
[
9
−
5
7
]
{\displaystyle {\begin{matrix}{{\mathbf {e} }_{1}}=\left[{\begin{matrix}5\\-2\\6\\\end{matrix}}\right]&{{\mathbf {e} }_{2}}=\left[{\begin{matrix}-3\\-1\\-4\\\end{matrix}}\right]&{{\mathbf {e} }_{3}}=\left[{\begin{matrix}9\\-5\\7\\\end{matrix}}\right]\\\end{matrix}}}
Calculamos la base dual para su espacio dual
e
∗
1
=
|
[
x
1
−
3
9
x
2
−
1
−
5
x
3
−
4
7
]
|
|
[
5
−
3
9
−
2
−
1
−
5
6
−
4
7
]
|
=
−
27
39
x
1
+
−
15
39
x
2
+
24
39
x
3
=
(
−
27
39
,
−
15
39
,
24
39
)
{\displaystyle {{\mathbf {e} }^{*1}}={\frac {\left|\left[{\begin{matrix}{{x}_{1}}&-3&9\\{{x}_{2}}&-1&-5\\{{x}_{3}}&-4&7\\\end{matrix}}\right]\right|}{\left|\left[{\begin{matrix}5&-3&9\\-2&-1&-5\\6&-4&7\\\end{matrix}}\right]\right|}}={\frac {-27}{39}}{{x}_{1}}+{\frac {-15}{39}}{{x}_{2}}+{\frac {24}{39}}{{x}_{3}}=\left({\frac {-27}{39}}{\text{, }}{\frac {-15}{39}}{\text{, }}{\frac {24}{39}}\right)}
e
∗
2
=
|
[
5
x
1
9
−
2
x
2
−
5
6
x
3
7
]
|
|
[
5
−
3
9
−
2
−
1
−
5
6
−
4
7
]
|
=
−
16
39
x
1
+
−
19
39
x
2
+
7
39
x
3
=
(
−
16
39
,
−
19
39
,
7
39
)
{\displaystyle {{\mathbf {e} }^{*2}}={\frac {\left|\left[{\begin{matrix}5&{{x}_{1}}&9\\-2&{{x}_{2}}&-5\\6&{{x}_{3}}&7\\\end{matrix}}\right]\right|}{\left|\left[{\begin{matrix}5&-3&9\\-2&-1&-5\\6&-4&7\\\end{matrix}}\right]\right|}}={\frac {-16}{39}}{{x}_{1}}+{\frac {-19}{39}}{{x}_{2}}+{\frac {7}{39}}{{x}_{3}}=\left({\frac {-16}{39}}{\text{, }}{\frac {-19}{39}}{\text{, }}{\frac {7}{39}}\right)}
e
∗
3
=
|
[
5
−
3
x
1
−
2
−
1
x
2
6
−
4
x
3
]
|
|
[
5
−
3
9
−
2
−
1
−
5
6
−
4
7
]
|
=
14
39
x
1
+
2
39
x
2
+
−
11
39
x
3
=
(
14
39
,
2
39
,
−
11
39
)
{\displaystyle {{\mathbf {e} }^{*3}}={\frac {\left|\left[{\begin{matrix}5&-3&{{x}_{1}}\\-2&-1&{{x}_{2}}\\6&-4&{{x}_{3}}\\\end{matrix}}\right]\right|}{\left|\left[{\begin{matrix}5&-3&9\\-2&-1&-5\\6&-4&7\\\end{matrix}}\right]\right|}}={\frac {14}{39}}{{x}_{1}}+{\frac {2}{39}}{{x}_{2}}+{\frac {-11}{39}}{{x}_{3}}=\left({\frac {14}{39}}{\text{, }}{\frac {2}{39}}{\text{, }}{\frac {-11}{39}}\right)}
para comprobar que nuestro resultado está bien, usamos la condición
e
∗
i
⋅
e
j
=
{
1
,
si
i
=
j
0
,
si
i
≠
j
{\displaystyle {{\mathbf {e} }^{*}}^{i}\cdot {{\mathbf {e} }_{j}}=\left\{{\begin{matrix}1{\text{,}}&{\text{si }}i=j\\0{\text{,}}&{\text{si }}i\neq j\\\end{matrix}}\right.}
que es equivalente en este caso a
[
e
∗
1
1
e
∗
2
1
e
∗
3
1
e
∗
1
2
e
∗
2
2
e
∗
3
2
e
∗
1
3
e
∗
2
3
e
∗
3
3
]
[
e
1
1
e
2
1
e
3
1
e
1
2
e
2
2
e
3
2
e
1
3
e
2
3
e
3
3
]
=
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}{{e}^{*}}_{1}^{1}&{{e}^{*}}_{2}^{1}&{{e}^{*}}_{3}^{1}\\{{e}^{*}}_{1}^{2}&{{e}^{*}}_{2}^{2}&{{e}^{*}}_{3}^{2}\\{{e}^{*}}_{1}^{3}&{{e}^{*}}_{2}^{3}&{{e}^{*}}_{3}^{3}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}e_{1}^{1}&e_{2}^{1}&e_{3}^{1}\\e_{1}^{2}&e_{2}^{2}&e_{3}^{2}\\e_{1}^{3}&e_{2}^{3}&e_{3}^{3}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right]}
al sustituir se obtiene
[
−
27
/
39
−
15
/
39
24
/
39
−
16
/
39
−
19
/
39
7
/
39
14
/
39
2
/
39
−
11
/
39
]
[
5
−
3
9
−
2
−
1
−
5
6
−
4
7
]
=
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}{-27}/{39}\;&{-15}/{39}\;&{24}/{39}\;\\{-16}/{39}\;&{-19}/{39}\;&{7}/{39}\;\\{14}/{39}\;&{2}/{39}\;&{-11}/{39}\;\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}5&-3&9\\-2&-1&-5\\6&-4&7\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right]}
lo cual demuestra que nuestro procedimiento es correcto
Propiedades de la base dual
editar
Cada vector v de un espacio vectorial V puede ser expresado únicamente como una combinación lineal de los elementos de la base
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
e
i
{\displaystyle \mathbf {v} =\sum \limits _{i=1}^{n}{{{v}^{i}}{{\mathbf {e} }_{i}}}}
El resultado de aplicar e *i en v es el siguiente:
e
∗
i
⋅
(
v
)
=
e
∗
i
⋅
(
∑
k
=
1
n
v
k
⋅
e
k
)
=
∑
k
=
1
n
v
k
(
e
∗
i
⋅
e
k
)
=
∑
k
=
1
n
v
k
(
δ
k
i
)
{\displaystyle {{\mathbf {e} }^{*i}}\cdot \left(\mathbf {v} \right)={{\mathbf {e} }^{*i}}\cdot \left(\sum \limits _{k=1}^{n}{{{v}^{k}}\cdot {{\mathbf {e} }_{k}}}\right)=\sum \limits _{k=1}^{n}{{{v}^{k}}\left({{\mathbf {e} }^{*i}}\cdot {{\mathbf {e} }_{k}}\right)}=\sum \limits _{k=1}^{n}{{{v}^{k}}\left(\delta _{k}^{i}\right)}}
Y por eso e *i es la transformación lineal (proyección ) que "extrae" de un vector v la componente
v
i
{\displaystyle v^{i}}
vector de coordenadas respecto a la base.
Coordenadas respecto a la base dual
editar
Hagamos que F sea un elemento genérico de V * , es decir una transformación lineal F desde el espacio vectorial V al K . Aplicado a un vector
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
e
i
{\displaystyle \mathbf {v} =\sum \limits _{i=1}^{n}{{{v}^{i}}{{\mathbf {e} }_{i}}}}
Produce la relación:
F
⋅
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
(
F
⋅
e
i
)
{\displaystyle F\cdot \mathbf {v} =\sum \limits _{i=1}^{n}{{{v}^{i}}\left(F\cdot {{\mathbf {e} }_{i}}\right)}}
Como se muestra en la fórmula anterior la trasformación F solo actúa sobre los elementos de la base de V . Por otra parte F transforma un vector en un elemento del espacio K , por lo que F es definido como n "números":
f
i
=
F
⋅
e
i
{\displaystyle {{f}_{i}}=F\cdot {{\mathbf {e} }_{i}}}
En consecuencia, F es obtenida de una combinación lineal de:
F
=
∑
i
=
1
N
f
i
e
∗
i
{\displaystyle F=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{f}_{i}}{{\mathbf {e} }^{*i}}}}
En efecto esa es la relación:
F
⋅
v
=
(
∑
i
=
1
n
f
i
e
∗
i
)
⋅
v
=
∑
i
=
1
n
f
i
(
e
∗
i
⋅
v
)
=
∑
i
=
1
n
f
i
v
∗
i
{\displaystyle F\cdot \mathbf {v} =\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{{{f}_{i}}{{\mathbf {e} }^{*i}}}\right)\cdot \mathbf {v} =\sum \limits _{i=1}^{n}{{{f}_{i}}\left({{\mathbf {e} }^{*i}}\cdot \mathbf {v} \right)}=\sum \limits _{i=1}^{n}{{{f}_{i}}{{v}^{*i}}}}
Cada transformación lineal F en V * puede ser expresada únicamente como una combinación lineal de la transformación e i
(e *1 , ..., e *n V * , que es por lo tanto de dimensión n ;
la fi es el vector de coordenadas de F con respecto a tal base. 
![{\displaystyle e_{1}^{*}={\frac {\left[e_{2};e_{3}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)}},e_{2}^{*}={\frac {\left[e_{1};e_{3}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)}},e_{3}^{*}={\frac {\left[e_{1};e_{2}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e75c2938d5ae76e82958c3675fdae43b198c513)
![{\displaystyle {\begin{matrix}{{\mathbf {e} }_{1}}=\left[{\begin{matrix}5\\-2\\6\\\end{matrix}}\right]&{{\mathbf {e} }_{2}}=\left[{\begin{matrix}-3\\-1\\-4\\\end{matrix}}\right]&{{\mathbf {e} }_{3}}=\left[{\begin{matrix}9\\-5\\7\\\end{matrix}}\right]\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54a2bcaa22166ee8d5e517bb3e8f9b8b345b545)
![{\displaystyle {{\mathbf {e} }^{*1}}={\frac {\left|\left[{\begin{matrix}{{x}_{1}}&-3&9\\{{x}_{2}}&-1&-5\\{{x}_{3}}&-4&7\\\end{matrix}}\right]\right|}{\left|\left[{\begin{matrix}5&-3&9\\-2&-1&-5\\6&-4&7\\\end{matrix}}\right]\right|}}={\frac {-27}{39}}{{x}_{1}}+{\frac {-15}{39}}{{x}_{2}}+{\frac {24}{39}}{{x}_{3}}=\left({\frac {-27}{39}}{\text{, }}{\frac {-15}{39}}{\text{, }}{\frac {24}{39}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f81952e821c3e4c4813fcd7378994d823f09b4c)
![{\displaystyle {{\mathbf {e} }^{*2}}={\frac {\left|\left[{\begin{matrix}5&{{x}_{1}}&9\\-2&{{x}_{2}}&-5\\6&{{x}_{3}}&7\\\end{matrix}}\right]\right|}{\left|\left[{\begin{matrix}5&-3&9\\-2&-1&-5\\6&-4&7\\\end{matrix}}\right]\right|}}={\frac {-16}{39}}{{x}_{1}}+{\frac {-19}{39}}{{x}_{2}}+{\frac {7}{39}}{{x}_{3}}=\left({\frac {-16}{39}}{\text{, }}{\frac {-19}{39}}{\text{, }}{\frac {7}{39}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76818032203f22d8eb4a29939357bc1404a07bd2)
![{\displaystyle {{\mathbf {e} }^{*3}}={\frac {\left|\left[{\begin{matrix}5&-3&{{x}_{1}}\\-2&-1&{{x}_{2}}\\6&-4&{{x}_{3}}\\\end{matrix}}\right]\right|}{\left|\left[{\begin{matrix}5&-3&9\\-2&-1&-5\\6&-4&7\\\end{matrix}}\right]\right|}}={\frac {14}{39}}{{x}_{1}}+{\frac {2}{39}}{{x}_{2}}+{\frac {-11}{39}}{{x}_{3}}=\left({\frac {14}{39}}{\text{, }}{\frac {2}{39}}{\text{, }}{\frac {-11}{39}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8605f422af07b44cbd125c6b3e1949108855b1)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}{{e}^{*}}_{1}^{1}&{{e}^{*}}_{2}^{1}&{{e}^{*}}_{3}^{1}\\{{e}^{*}}_{1}^{2}&{{e}^{*}}_{2}^{2}&{{e}^{*}}_{3}^{2}\\{{e}^{*}}_{1}^{3}&{{e}^{*}}_{2}^{3}&{{e}^{*}}_{3}^{3}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}e_{1}^{1}&e_{2}^{1}&e_{3}^{1}\\e_{1}^{2}&e_{2}^{2}&e_{3}^{2}\\e_{1}^{3}&e_{2}^{3}&e_{3}^{3}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56d8a92a89db672bcfb00bae883cecea1dce670)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}{-27}/{39}\;&{-15}/{39}\;&{24}/{39}\;\\{-16}/{39}\;&{-19}/{39}\;&{7}/{39}\;\\{14}/{39}\;&{2}/{39}\;&{-11}/{39}\;\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}5&-3&9\\-2&-1&-5\\6&-4&7\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1facc083268e635add2b6128318ceb242809c75c)
Datos: Q2297777