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El primer calorímetro del hielo del mundo, utilizado en el invierno de 1782–83, por Antoine Lavoisier y Pierre-Simon Laplace , para determinar el calor involucrado en varios cambios químicos ; cálculos basados en el descubrimiento previo de calor latente de Joseph Black . Estos experimentos marcan los cimientos de la termoquímica .
Cámara de calorimetría directa de Snellen, Universidad de Ottawa. [1]
Carro metabólico de calorimetría indirecta que mide la captación de oxígeno y la producción de CO2 de un sujeto que respira espontáneamente (método de dilución con capota de dosel).

La calorimetría es la ciencia o el acto de medir los cambios en las variables de estado de un cuerpo con el propósito de derivar la transferencia de calor asociada con los cambios de su estado debido, por ejemplo, a reacciones químicas, cambios físicos o transiciones de fase bajo restricciones específicas. La calorimetría se realiza con un calorímetro. La palabra calorimetría se deriva de la palabra latina calor, que significa calor y la palabra griega μέτρον (metrón), que significa medida. Se dice que el médico y científico escocés Joseph Black, quien fue el primero en reconocer la distinción entre calor y temperatura, es el fundador de la ciencia de la calorimetría.[2]

La calorimetría indirecta calcula el calor que producen los organismos vivos midiendo su producción de dióxido de carbono y residuos de nitrógeno (con frecuencia amoníaco en organismos acuáticos o urea en organismos terrestres), o a partir de su consumo de oxígeno. Lavoisier observó en 1780 que la producción de calor se puede predecir a partir del consumo de oxígeno de esta manera, mediante regresión múltiple. La teoría del balance dinámico de energía explica por qué este procedimiento es correcto. El calor generado por los organismos vivos también puede medirse por calorimetría directa, en la cual el organismo entero se coloca dentro del calorímetro para la medición.

Un instrumento moderno ampliamente utilizado es el calorímetro de barrido diferencial, un dispositivo que permite obtener datos térmicos en pequeñas cantidades de material. Implica calentar la muestra a una velocidad controlada y registrar el flujo de calor hacia o desde la muestra.

Índice

Cálculo calorimétrico clásico del calorEditar

Casos con ecuación de estado diferenciable para un cuerpo de un componenteEditar

Cálculo clásico básico con respecto al volumenEditar

La calorimetría requiere que un material de referencia que cambia la temperatura tenga conocidas propiedades térmicas constitutivas. La regla clásica, reconocida por Clausius y por Kelvin, es que la presión ejercida por el material calorimétrico está total y rápidamente determinada únicamente por su temperatura y volumen; esta regla es para cambios que no involucran cambio de fase, como la fusión del hielo. Hay muchos materiales que no cumplen con esta regla, y para ellos, la fórmula actual de la calorimetría clásica no proporciona una explicación adecuada. Aquí se supone que la regla clásica es válida para el material calorimétrico que se está utilizando, y las proposiciones se escriben matemáticamente:

La respuesta térmica del material calorimétrico se describe completamente por su presión   como el valor de su función constitutiva   de solo el volumen  y la temperatura  . Todos los incrementos se requieren aquí para ser muy pequeños. Este cálculo se refiere a un dominio de volumen y temperatura del cuerpo en el que no se produce un cambio de fase, y solo hay una fase presente. Un supuesto importante aquí es la continuidad de las relaciones de propiedad. Se necesita un análisis diferente para el cambio de fase.

Cuando se obtiene un pequeño incremento de calor por un cuerpo calorimétrico, con pequeños incrementos,  de su volumen, y  de su temperatura, el incremento de calor,  , obtenido por el cuerpo de material calorimétrico, está dado por

 

donde

 denota el calor latente con respecto al volumen, del material calorimétrico a temperatura constante controlada  . La presión del entorno sobre el material se ajusta por instrumentos para imponer un cambio de volumen elegido, con volumen inicial  . Para determinar este calor latente, el cambio de volumen es efectivamente la cantidad con variación instrumental de forma independiente. Este calor latente no es uno de los más utilizados, pero es de interés teórico o conceptual.
 denota la capacidad calorífica del material calorimétrico a un volumen constante fijo  , mientras que la presión del material puede variar libremente, con la temperatura inicial  . La temperatura es forzada a cambiar por la exposición a un baño de calor adecuado. Es costumbre escribir  , o incluso más brevemente como  . Este calor latente es uno de los dos más utilizados.[3][4][5][6][7][8][9]

El calor latente con respecto al volumen es el calor requerido para el incremento de la unidad en volumen a temperatura constante. Se puede decir que se 'mide a lo largo de una isoterma', y la presión que ejerce el material puede variar libremente, de acuerdo con su ley constitutiva  . Para un material dado, puede tener un signo positivo o negativo o, excepcionalmente, puede ser cero, y esto puede depender de la temperatura, como ocurre con el agua alrededor de 4 C.[10][11][12][13]​ el concepto de calor latente con respecto al volumen fue reconocido por primera vez por Joseph Black en 1762.[14]​ También se utiliza el término 'calor latente de expansión'.[15]​ El calor latente con respecto al volumen también puede denominarse 'energía latente con respecto al volumen'. Para todos estos usos de 'calor latente', una terminología más sistemática utiliza 'capacidad de calor latente'.

La capacidad de calor a volumen constante es el calor requerido para el incremento de la unidad de temperatura a volumen constante. Se puede decir que se 'mide a lo largo de un isocor', y nuevamente, la presión que ejerce el material puede variar libremente. Siempre tiene un signo positivo. Esto significa que para un aumento en la temperatura de un cuerpo sin cambio de su volumen, se le debe suministrar calor. Esto es consistente con la experiencia común.

Cantidades como  a veces se llaman 'diferenciales de curva', porque se miden a lo largo de curvas en el   superficie.

Teoría clásica para la calorimetría de volumen constante (isocórica)Editar

La calorimetría de volumen constante es la calorimetría realizada a un volumen constante. Esto implica el uso de un calorímetro de volumen constante. El calor todavía se mide por el principio de calorimetría mencionado anteriormente.

Esto significa que en un calorímetro construido adecuadamente, llamado calorímetro de bomba, el incremento de volumen  puede hacerse desaparecer,  . Para la calorimetría de volumen constante:

 

donde

 denota el incremento de temperatura y
 denota la capacidad calorífica a volumen constante.

Cálculo de calor clásico con respecto a la presión.Editar

De la regla anterior de cálculo de calor con respecto al volumen, sigue una con respecto a la presión.[3][7][16][17]

En un proceso de pequeños incrementos,  de su presión, y  de su temperatura, el incremento de calor,  , obtenido por el cuerpo de material calorimétrico, está dado por

 

donde

 denota el calor latente con respecto a la presión, del material calorimétrico a temperatura constante, mientras que el volumen y la presión del cuerpo pueden variar libremente, a presión  y temperatura  ;
 denota la capacidad de calor del material calorimétrico a presión constante, mientras que la temperatura y el volumen del cuerpo pueden variar libremente a presión  y temperatura  . Es costumbre escribir  simplemente como  , o incluso más brevemente como  .

Las nuevas cantidades aquí están relacionadas con las anteriores:[3][7][17][18]

 
 

donde

    denota la derivada parcial de  con respecto a  evaluado para  

y

    denota la derivada parcial de  con respecto a  evaluado para  .

Los calores latentes   y  siempre son de signo opuesto. [19]

Es común referirse a la relación de calores específicos como

 a menudo sólo se escribe como  .[20][21]

Calorimetría a través del cambio de fase, la ecuación de estado muestra una discontinuidad de saltoEditar

Un calorímetro temprano fue el usado por Laplace y Lavoisier, como se muestra en la figura de arriba. Funcionó a temperatura constante, ya presión atmosférica. El calor latente involucrado no era un calor latente con respecto al volumen o con respecto a la presión, como en la cuenta anterior para la calorimetría sin cambio de fase. El calor latente involucrado en este calorímetro fue con respecto al cambio de fase, que ocurre naturalmente a temperatura constante. Este tipo de calorímetro funcionó midiendo la masa de agua producida por la fusión del hielo, que es un cambio de fase.

Acumulación de calefacciónEditar

Para un proceso de calentamiento del material calorimétrico dependiente del tiempo, definido por una progresión conjunta continua  de  y  empezando por el tiempo  y terminando en el tiempo  , se puede calcular una cantidad acumulada de calor entregado,  . Este cálculo se realiza mediante integración matemática a lo largo de la progresión con respecto al tiempo. Esto se debe a que los incrementos de calor son "aditivos"; pero esto no significa que el calor sea una cantidad conservadora. La idea de que el calor era una cantidad conservadora fue inventada por Lavoisier, y se llama " teoría calórica"; a mediados del siglo XIX fue reconocida como errónea. Escrito con el símbolo   la cantidad  no está restringido en absoluto para ser un incremento con valores muy pequeños; esto está en contraste con  .

Uno puede escribir

 
 
 .

Esta expresión usa cantidades tales como  que se definen en la sección a continuación titulada "Aspectos matemáticos de las reglas anteriores".

Aspectos matemáticos de las reglas anterioresEditar

El uso de cantidades 'muy pequeñas' tales como  está relacionado con el requerimiento físico de la cantidad  ser 'rápidamente determinado' por  y  ; tal "determinación rápida" se refiere a un proceso físico. Estas cantidades "muy pequeñas" se utilizan en el enfoque de Leibniz para el cálculo infinitesimal. El enfoque de Newton utiliza en cambio ' fluxiones ' como  , lo que hace más obvio que  debe ser 'rápidamente determinado'.

En términos de flujos, la primera regla de cálculo anterior se puede escribir [22]

 

donde

  denota el tiempo
  denota la tasa de tiempo de calentamiento del material calorimétrico en el momento  
  denota la tasa de tiempo de cambio de volumen del material calorimétrico en el tiempo  
  denota la tasa de tiempo de cambio de temperatura del material calorimétrico.

El incremento  y la fluxión  se obtienen por un tiempo particular  que determina los valores de las cantidades en el lado derecho de las reglas anteriores. Pero esto no es una razón para esperar que exista una función matemática  . Por esta razón, el incremento  se dice que es un "diferencial imperfecto" o un " diferencial inexacto ".[23][24][25]​ Algunos libros lo indican por escrito  en lugar de  .[26][27]​ Además, la notación  se usa en algunos libros.[23][28]​ El descuido sobre esto puede llevar al error.[29]

La cantidad  correctamente se dice que es un funcional de la progresión conjunta continua  de  y  , pero, en la definición matemática de una función,  no es una función de  . Aunque la fluxión  se define aquí como una función del tiempo  los símbolos  y  respectivamente, por sí solos no se definen aquí.

Ámbito físico de las normas de calorimetría anterioresEditar

Las reglas anteriores se refieren únicamente a materiales calorimétricos adecuados. Los términos 'rápidamente' y 'muy pequeño' requieren una verificación física empírica del dominio de validez de las reglas anteriores.

Las reglas anteriores para el cálculo del calor pertenecen a la calorimetría pura. No hacen referencia a la termodinámica, y se entendieron principalmente antes del advenimiento de la termodinámica. Son la base de la contribución 'termo' a la termodinámica. La contribución de la 'dinámica' se basa en la idea de trabajo, que no se utiliza en las reglas de cálculo anteriores.

Coeficientes medidos experimentalmenteEditar

Empíricamente, es conveniente medir las propiedades de los materiales calorimétricos en condiciones experimentalmente controladas.

Aumento de presión a volumen constanteEditar

Para mediciones a volumen controlado experimentalmente, se puede usar el supuesto, mencionado anteriormente, de que la presión del cuerpo del material calorimétrico se puede expresar en función de su volumen y temperatura.

Para la medición a un volumen constante controlado experimentalmente, el coeficiente isocórico de aumento de presión con la temperatura se define por

 .[30]

Expansión a presión constanteEditar

Para mediciones a presión controlada experimentalmente, se asume que el volumen  del cuerpo del material calorimétrico se puede expresar como una función  de su temperatura  y presión  . Esta suposición está relacionada con, pero no es lo mismo, la suposición utilizada anteriormente de que la presión del cuerpo del material calorimétrico se conoce como una función de su volumen y temperatura; el comportamiento anómalo de los materiales puede afectar esta relación.

La cantidad que se mide convenientemente a una presión constante controlada experimentalmente, el coeficiente de expansión del volumen isobárico, se define por

 .[30][31][32][33][34][35][36]

Compresibilidad a temperatura constanteEditar

Para mediciones a temperatura controlada experimentalmente, nuevamente se asume que el volumen  del cuerpo del material calorimétrico se puede expresar como una función  de su temperatura  y presión  , con las mismas condiciones mencionadas anteriormente.

La cantidad que se mide convenientemente a una temperatura constante controlada experimentalmente, la compresibilidad isotérmica, se define por

 .[31][32][33][34][35][36]

Relación entre las cantidades calorimétricas clásicasEditar

Suponiendo que la regla  se sabe, se puede derivar la función de  que se usa arriba en el cálculo de calor clásico con respecto a la presión. Esta función se puede encontrar experimentalmente a partir de los coeficientes  y  a través de la relación matemáticamente deducible

 .[37]

Conexión entre calorimetría y termodinámicaEditar

La termodinámica se desarrolló gradualmente durante la primera mitad del siglo XIX, basándose en la teoría anterior de la calorimetría que se había desarrollado antes y en otros descubrimientos. Según Gislason y Craig (2005): "La mayoría de los datos termodinámicos provienen de la calorimetría..." [38]​ Según Kondepudi (2008): "La calorimetría se usa ampliamente en los laboratorios actuales".[39]

En cuanto a la termodinámica, la energía interna  de  , con derivadas parciales  y  .

Luego se puede mostrar que se puede escribir una versión termodinámica de las reglas calorimétricas anteriores:

 

con

 

y

  .[29][40][41][42][43]

De nuevo, más allá en términos de termodinámica, la energía interna  el material calorimétrico puede a veces, dependiendo del material calorimétrico, ser considerado como el valor de una función  , con derivadas parciales  y  , y con  de  , con derivadas parciales  y  .

Luego, según Adkins (1975), [44]​ se puede mostrar que se puede escribir una versión termodinámica adicional de las reglas calorimétricas anteriores:

 

y

  .[44]

Más allá del hecho calorimétrico señalado anteriormente, el calor latente  y  son siempre de signo opuesto, se puede mostrar, usando el concepto termodinámico de trabajo, que también

 [45]

Interés especial de la termodinámica en la calorimetría: los segmentos isotérmicos de un ciclo de CarnotEditar

La calorimetría tiene un beneficio especial para la termodinámica. Le informa sobre el calor absorbido o emitido en el segmento isotérmico de un ciclo de Carnot .

Un ciclo de Carnot es un tipo especial de proceso cíclico que afecta a un cuerpo compuesto de material adecuado para su uso en un motor térmico. Tal material es del tipo considerado en calorimetría, como se señaló anteriormente, que ejerce una presión que se determina muy rápidamente solo por la temperatura y el volumen. Se dice que tal cuerpo cambia reversiblemente. Un ciclo de Carnot consta de cuatro etapas o segmentos sucesivos:

(1) un cambio en el volumen de un volumen  a un volumen  a temperatura constante  para incurrir en un flujo de calor en el cuerpo (conocido como un cambio isotérmico)

(2) un cambio en el volumen de  a un volumen  a una temperatura variable tal como para no incurrir en ningún flujo de calor (conocido como un cambio adiabático)

(3) otro cambio isotérmico en el volumen de  a un volumen  a temperatura constante   como para incurrir en un flujo o calor fuera del cuerpo y simplemente para prepararse con precisión para el siguiente cambio(4) otro cambio adiabático de volumen de  de regreso   justo como para devolver el cuerpo a su temperatura inicial  .

En el segmento isotérmico (1), el calor que fluye hacia el cuerpo viene dado por

    

y en el segmento isotérmico (3) el calor que fluye fuera del cuerpo viene dado por

 .[46]

Debido a que los segmentos (2) y (4) son adiabáticos, no fluye calor hacia dentro o fuera del cuerpo durante ellos, y en consecuencia, el calor neto suministrado al cuerpo durante el ciclo viene dado por

 .

Esta cantidad es utilizada por la termodinámica y se relaciona de manera especial con el trabajo neto realizado por el cuerpo durante el ciclo de Carnot. El cambio neto de la energía interna del cuerpo durante el ciclo de Carnot,   , es igual a cero, porque el material del cuerpo de trabajo tiene las propiedades especiales mencionadas anteriormente.

Interés especial de la calorimetría en la termodinámica: relaciones entre las cantidades calorimétricas clásicasEditar

Relación del calor latente con respecto al volumen y la ecuación de estadoEditar

La cantidad  , el calor latente con respecto al volumen, pertenece a la calorimetría clásica. Cuenta la ocurrencia de la transferencia de energía por trabajo en un proceso en el que el calor también se transfiere; la cantidad, sin embargo, se consideró antes de que la relación entre el calor y las transferencias de trabajo se aclarara por la invención de la termodinámica. A la luz de la termodinámica, se revela que la cantidad calorimétrica clásica está estrechamente vinculada a la ecuación de estado del material calorimétrico  . Siempre que la temperatura   </img> se mide en la escala termodinámica absoluta, la relación se expresa en la fórmula

 .[47]

Diferencia de calores específicosEditar

La termodinámica avanzada proporciona la relación.

 .

A partir de esto, un razonamiento matemático y termodinámico adicional conduce a otra relación entre las cantidades calorimétricas clásicas. La diferencia de calores específicos está dada por

 .[31][37][48]

Calorimetría práctica de volumen constante (calorimetría de bomba) para estudios termodinámicosEditar

La calorimetría de volumen constante es la calorimetría realizada a un volumen constante. Esto implica el uso de un calorímetro de volumen constante .

No se realiza trabajo en calorimetría de volumen constante, por lo que el calor medido es igual al cambio en la energía interna del sistema. Se supone que la capacidad de calor a volumen constante es independiente de la temperatura.

El calor se mide por el principio de calorimetría.

 

donde

ΔU es el cambio en la energía interna,
ΔT es el cambio de temperatura y
CV es la capacidad calorífica a volumen constante.

En calorimetría de volumen constante, la presión no se mantiene constante. Si hay una diferencia de presión entre los estados inicial y final, el calor medido debe ajustarse para proporcionar el cambio de entalpía . Uno entonces tiene

 

donde

Δ H es el cambio en la entalpía y
V es el volumen invariable de la cámara de muestras.

Véase tambiénEditar

LibrosEditar

  • Adkins, C.J. (1975). Equilibrium Thermodynamics, second edition, McGraw-Hill, London, ISBN 0-07-084057-1.
  • Bailyn, M. (1994). A Survey of Thermodynamics, American Institute of Physics, New York, ISBN 0-88318-797-3.
  • Bryan, G.H. (1907). Thermodynamics. An Introductory Treatise dealing mainly with First Principles and their Direct Applications, B.G. Tuebner, Leipzig.
  • Callen, H.B. (1960/1985). Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, second edition, Wiley, New York, ISBN 981-253-185-8.
  • Crawford, F.H. (1963). Heat, Thermodynamics, and Statistical Physics, Rupert Hart-Davis, London, Harcourt, Brace, & World.
  • Guggenheim, E.A. (1949/1967). Thermodynamics. An Advanced Treatment for Chemists and Physicists, North-Holland, Amsterdam.
  • Iribarne, J.V., Godson, W.L. (1973/1981), Atmospheric Thermodynamics, second edition, D. Reidel, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, ISBN 90-277-1296-4.
  • Kondepudi, D. (2008). Introduction to Modern Thermodynamics, Wiley, Chichester, ISBN 978-0-470-01598-8.
  • Landsberg, P.T. (1978). Thermodynamics and Statistical Mechanics, Oxford University Press, Oxford, ISBN 0-19-851142-6.
  • Lewis, G.N., Randall, M. (1923/1961). Thermodynamics, second edition revised by K.S Pitzer, L. Brewer, McGraw-Hill, New York.
  • Maxwell, J.C. (1872). Theory of Heat, third edition, Longmans, Green, and Co., London.
  • Partington, J.R. (1949). An Advanced Treatise on Physical Chemistry, Volume 1, Fundamental Principles. The Properties of Gases, Longmans, Green, and Co., London.
  • Planck, M. (1923/1926). Treatise on Thermodynamics, third English edition translated by A. Ogg from the seventh German edition, Longmans, Green & Co., London.
  • Truesdell, C., Bharatha, S. (1977). The Concepts and Logic of Classical Thermodynamics as a Theory of Heat Engines, Rigorously Constructed upon the Foundation Laid by S. Carnot and F. Reech, Springer, New York, ISBN 0-387-07971-8.

ReferenciasEditar

  1. Reardon, Francis D .; Leppik, Kalle E .; Wegmann, René; Webb, Paul; Ducharme, Miche B .; & Kenny, Glen P. (2006). El calorímetro humano Snellen revisado, rediseñado y mejorado: características de diseño y rendimiento. Med Bio Eng Comput , 44: 721–728.
  2. Laidler, Keith, J. (1993). The World of Physical Chemistry. Oxford University Press. ISBN 0-19-855919-4. 
  3. a b c Bryan, GH (1907), páginas 21–22.
  4. Partington, JR (1949), páginas 155-157.
  5. Prigogine, I., Defay, R. (1950/1954). Termodinámica química , Longmans, Green & Co, Londres, páginas 22-23.
  6. Crawford, FH (1963), Sección 5.9, pp. 120-121.
  7. a b c Adkins, CJ (1975), Sección 3.6, páginas 43-46.
  8. Truesdell, C., Bharatha, S. (1977), páginas 20-21.
  9. Landsberg, PT (1978), página 11.
  10. Maxwell, JC (1872), páginas 232-233.
  11. Lewis, GN, Randall, M. (1923/1961), páginas 378-379.
  12. Truesdell, C., Bharatha, S. (1977), páginas 9-10, 15-18, 36-37.
  13. Truesdell, C.A. (1980). The Tragicomical History of Thermodynamics, 1822–1854, Springer, New York, ISBN 0-387-90403-4.
  14. Lewis, GN, Randall, M. (1923/1961), página 29.
  15. Maxwell, JC (1872), página 73.
  16. Crawford, FH (1963), Sección 5.10, pp. 121-122.
  17. a b Truesdell, C., Bharatha, S. (1977), página 23.
  18. Crawford, FH (1963), Sección 5.11, pp. 123–124.
  19. Truesdell, C., Bharatha, S. (1977), página 24.
  20. Truesdell, C., Bharatha, S. (1977), página 25.
  21. Kondepudi, D. (2008), páginas 66-67.
  22. Truesdell, C., Bharatha, S. (1977), página 20.
  23. a b Adkins, CJ (1975), Sección 1.9.3, página 16.
  24. Landsberg, PT (1978), páginas 8-9.
  25. Una explicación de esto está dada por Landsberg, PT (1978), Capítulo 4, páginas 26-33.
  26. Fowler, R., Guggenheim, EA (1939/1965). Termodinámica estadística. Una versión de Mecánica Estadística para Estudiantes de Física y Química , Cambridge University Press, Cambridge UK, página 57.
  27. Guggenheim, EA (1949/1967), Sección 1.10, páginas 9-11.
  28. Lebon, G., Jou, D., Casas-Vázquez, J. (2008). Understanding Non-equilibrium Thermodynamics: Foundations, Applications, Frontiers, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-74252-4, page 7.
  29. a b Planck, M. (1923/1926), página 57. Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; el nombre «Planck 1923/1926 57» está definido varias veces con contenidos diferentes
  30. a b Iribarne, J.V., Godson, W.L. (1973/1981), page 46.
  31. a b c Lewis, G.N., Randall, M. (1923/1961), page 54.
  32. a b Guggenheim, E.A. (1949/1967), page 38.
  33. a b Callen, H.B. (1960/1985), page 84.
  34. a b Adkins, C.J. (1975), page 38.
  35. a b Bailyn, M. (1994), page 49.
  36. a b Kondepudi, D. (2008), page 180.
  37. a b Kondepudi, D. (2008), page 181.
  38. Gislason, EA, Craig, NC (2005). Cementando los fundamentos de la termodinámica: comparación de definiciones de trabajo y calor basadas en el sistema y en el entorno, J. Chem. Termodinámica 37 : 954-966.
  39. Kondepudi, D. (2008), página 63.
  40. Preston, T. (1894/1904). The Theory of Heat, second edition, revised by J.R. Cotter, Macmillan, London, pages 700-701.
  41. Adkins, C.J. (1975), page 45.
  42. Truesdell, C., Bharatha, S. (1977), page 134.
  43. Kondepudi, D. (2008), page 64.
  44. a b Adkins, CJ (1975), página 46. Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; el nombre «Adkins 46» está definido varias veces con contenidos diferentes
  45. Truesdell, C., Bharatha, S. (1977), page 59.
  46. Truesdell, C., Bharatha, S. (1977), pages 52-53.
  47. Truesdell, C., Bharatha, S. (1977), page 150.
  48. Callen, H.B. (1960/1985), page 86.

Enlaces externosEditar