Característica (matemática)

concepto algebraico

En álgebra abstracta, la característica de un anillo es definida como el entero positivo más pequeño tal que . Si no existe tal , se dice que la característica de es 0.

De forma alternativa y equivalente, podemos definir la característica del anillo como el único número natural tal que contenga un subanillo isomorfo al anillo cociente .

El caso de anillosEditar

Si   y   son anillos y existe un homomorfismo de anillos

 ,

entonces la característica de   divide la característica de  . Esto puede a veces ser utilizado para excluir la posibilidad de cierto homomorfismo de anillos. El único anillo con característica 1 es el anillo trivial, el cual contiene un solo elemento 0=1. Si el anillo no trivial   no tienen ningún divisor de cero, entonces su característica es 0 o primo. En particular, esto se aplica a todo cuerpo, a todo dominio de integridad y a todo anillo de división. Todo anillo de característica 0 es infinito.

El anillo   de los enteros módulo   tiene característica  . Si   es un subanillo de  , entonces   y   tienen la misma característica. Por ejemplo, si   es un polinomio primo con coeficientes en el cuerpo   donde   es primo, entonces el anillo factor   es un cuerpo de característica  . Como los números complejos contienen a los racionales, su característica es 0.

Si un anillo conmutativo   tiene característica prima  , entonces se tiene que   para todo elemento   e   en  .

La aplicación

 

define un homomorfismo de anillos

 ,

Este es llamado el endomorfismo de Frobenius. Si   es un dominio de integridad este es inyectivo.