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Carta (matemática)

concepto matemático
CartaGeometriaDiferencial.png

Carta se incluye en terminología matemática en el sentido cartográfico, el objetivo es el de unir una serie de cartas o “mapas” para que nos permitan definir completamente una atlas o “colección de mapas” de la totalidad de un espacio topológico al que queremos estudiar.

Para una ampliación contextual de la definición vea variedades diferenciables.

Definición de cartasEditar

Dado   un espacio topológico, llamaremos carta de dimensión   en   a un par   tal que la aplicación   cumpla que   sea un abierto y   sea un homeomorfismo(biyectiva, continua e inversa continua).

Notas

  • Diremos que   es un abierto coordenado.
  • Si  , diremos que   es un entorno coordenado de  .
  • Si  , diremos que la carta está centrada en  .

Ejemplos trivialesEditar

1) Si   podemos ver que   es carta  .

2) Si   pordemos ver que   es carta  .

3) Si   podemos ver que   es carta, también lo es  .

Demostración:

  es espacio topológico,  , luego es biyectiva y como es continua tenemos un homeomorfismo.

4) Si   podemos ver que   es carta para:

 .

 

5) Si   podemos ver que   es carta para:

la proyección estereográfica  .
 
Caso particular en el que n=2

6) Si   podemos ver que   es carta para:

 .

BibliografíaEditar

  • William M. Boothby, An Introduction to Differenciable Manifolds and Riemannian Geometry, 2nd ed. San Diego: Academic Press, 1986.
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  • Spivak, Michael, Cálculo en variedades. Reverté (1988), ISBN 84-291-5142-7
  • Spivak, Michael, A comprehensive introduction to differential geometry,volume I, Publish or Perish, Inc, Houston, Texas, 1999, ISBN 0-914098-87-X.