Conjetura de Cramér

En teoría de números, la conjetura de Cramér, formulada por el matemático sueco Harald Cramér en 1936,[1]​ dice que

donde pn denota el n-ésimo número primo y "log" denota el logaritmo natural. Esta conjetura aún no ha sido demostrada ni refutada, y es improbable que lo sea en un futuro cercano. Se fundamenta en un modelo probabilístico (en esencia, una heurística) de los números primos, en el cual se presupone que la probabilidad de que un número natural sea primo es . Este modelo se conoce como el modelo de Cramér de los números primos. De ahí, se puede demostrar que la conjetura es cierta con probabilidad uno.[2]

Shanks conjeturó la igualdad asintótica de diferencias maximales entre primos consecutivos, un enunciado más fuerte.[3]

También Cramér formuló otra conjetura sobre diferencias entre primos consecutivos:

que demostró presuponiendo la (aún por demostrar) hipótesis de Riemann.

Además, E. Westzynthius demostró en 1931 que[4]

Conjetura de Cramér-GranvilleEditar

Puede que la conjetura de Cramér sea demasiado fuerte. Andrew Granville conjeturó en 1995[5]​ que existe una cota   para la cual  . Maier propuso  

Nicely[6]​ ha calculado muchas diferencias grandes entre primos consecutivos. Ha medido la compatibilidad con la conjetura de Cramér midiendo la razón R entre el logaritmo de un número primo y la raíz cuadrada de la diferencia con el siguiente. «Para las mayores diferencias maximales que se conocen», dice, «R se ha mantenido cerca de 1,13», lo que muestra que, al menos entre los números que ha observado, el refinamiento de Granville de la conjetura de Cramér parece ajustarse bien a los datos.

Resultados probados condicionalmente sobre la separación entre primosEditar

Cramér dio un prueba condicional de una declaración mucho más débil, que implica que

 

en el supuesto de que se cumpliera la hipótesis de Riemann.[1]​ El postulado incondicional más conocido es el que indica que

 

debido a Baker, Harman y Pintz.[7]

En otra dirección, E. Westzynthius demostró en 1931 que la separación entre primos crece más que logarítmicamente. Es decir,[8]

 

Su resultado fue mejorado por Robert Alexander Rankin,[9]​ que demostró que

 

Paul Erdős conjeturó que el lado izquierdo de la fórmula anterior es infinito, y esto fue probado en 2014 por Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin y Terence Tao.[10]

Justificación heurísticaEditar

La conjetura de Cramér se basa en un modelo probabilístico, esencialmente heurístico, en el que la probabilidad de que un número de tamaño x sea primo es 1/log x. Esto se conoce como el modelo aleatorio de Cramér o modelo de Cramér de los números primos.[11]

En el modelo aleatorio de Cramér,

 

con probabilidad 1.[1]​ Sin embargo, como señaló Andrew Granville,[12]​ el teorema de Maier demuestra que el modelo aleatorio de Cramér no describe adecuadamente la distribución de primos en intervalos cortos. Por ello, un refinamiento del modelo de Cramér teniendo en cuenta la divisibilidad por pequeños primos sugiere que   (A125313), donde   es la constante de Euler-Mascheroni. János Pintz ha sugerido que el límite superior puede ser infinito,[13]​ y de manera similar Leonard Adleman y Kevin McCurley escribieron que:

Como resultado del trabajo de H. Maier sobre los espacios entre números primos consecutivos, la formulación exacta de la conjetura de Cramér ha sido cuestionada [...] Todavía es probablemente cierto que para cada constante  , hay una constante   tal que hay un primo entre   y  .[14]

Conjeturas y heurística relacionadasEditar

 
Función de la separación entre primos consecutivos

Daniel Shanks conjeturó la siguiente igualdad asintótica, más fuerte que la conjetura de Cramér,[15]​ para la separación entre primos:

 

J.H. Cadwell[16]​ propuso la siguiente fórmula para las separaciones máximas:

 

que es formalmente idéntica a la conjetura de Shanks, pero que sugiere un término de orden inferior.

Marek Wolf[17]​ propuso la siguiente fórmula para las separaciones máximas

 

expresadas en términos de la función contador de números primos  :

 

donde   y   es el doble de la constante de los primos gemelos; consúltese A005597, A114907. Usando la aproximación de Gauss  , se obtiene

 

que para   grande también es asintóticamente equivalente a las conjeturas de Cramér y Shanks:  .

Thomas Nicely ha localizado numerosos saltos entre primos consecutivos de gran longitud.[18]​ Esto le ha permitido estimar la calidad de ajuste de la conjetura de Cramér midiendo la relación

 

Escribe: "Para las separaciones entre primos consecutivos más grandes conocidas,   se ha mantenido cerca de 1,13". Sin embargo,   sigue siendo inferior a 1.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. a b c Cramér, Harald (1936), «On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers», Acta Arithmetica 2: 23-46, archivado desde el original el 23 de julio de 2018, consultado el 12 de marzo de 2012 .
  2. David Hawkins, "The Random Sieve", Mathematics Magazine 31 (1957), pp. 1–3.
  3. Daniel Shanks, "On Maximal Gaps between Successive Primes", Mathematics of Computation 18, No. 88 (1964), pp. 646–651.
  4. E. Westzynthius, Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind, Commentationes Physico-Mathematicae Helsingfors, 5 (1931), pp. 1–37.
  5. A. Granville, "Harald Cramér and the distribution of prime numbers", Scandinavian Actuarial J. 1 (1995), 12—28. [1] Archivado el 23 de septiembre de 2015 en Wayback Machine.
  6. Nicely, Thomas R. (1999), «New maximal prime gaps and first occurrences», Mathematics of Computation 68 (227): 1311-1315, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0, MR 1627813, archivado desde el original el 30 de diciembre de 2014, consultado el 12 de abril de 2009 ..
  7. R. C. Baker, G. Harman, and J. Pintz, The difference between consecutive primes. II. Proc. London Math. Soc. (3), 83 (2001), no. 3, 532-562
  8. Westzynthius, E. (1931), «Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind», Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors (en alemán) 5: 1-37, JFM 57.0186.02, Zbl 0003.24601 ..
  9. R. A. Rankin, The difference between consecutive prime numbers, J. London Math. Soc. 13 (1938), 242-247
  10. K. Ford, B. Green, S. Konyagin, and T. Tao, Large gaps between consecutive prime numbers. Ann. of Math. (2) 183 (2016), no. 3, 935–974
  11. Terence Tao, 254A, Supplement 4: Probabilistic models and heuristics for the primes (optional), section on The Cramér random model, January 2015.
  12. Granville, A. (1995), «Harald Cramér and the distribution of prime numbers», Scandinavian Actuarial Journal 1: 12-28, doi:10.1080/03461238.1995.10413946, archivado desde el original el 23 de septiembre de 2015, consultado el 12 de abril de 2009 ..
  13. János Pintz, Very large gaps between consecutive primes, Journal of Number Theory 63:2 (April 1997), pp. 286–301.
  14. Leonard Adleman and Kevin McCurley, Open Problems in Number Theoretic Complexity, II. Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994), 291–322, Lecture Notes in Comput. Sci., 877, Springer, Berlin, 1994.
  15. Shanks, Daniel (1964), «On Maximal Gaps between Successive Primes», Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 18 (88): 646-651, JSTOR 2002951, Zbl 0128.04203, doi:10.2307/2002951 ..
  16. Cadwell, J. H. (1971), «Large Intervals Between Consecutive Primes», Mathematics of Computation 25 (116): 909-913, JSTOR 2004355, doi:10.2307/2004355 .
  17. Wolf, Marek (2014), «Nearest-neighbor-spacing distribution of prime numbers and quantum chaos», Phys. Rev. E 89: 022922, Bibcode:2014PhRvE..89b2922W, arXiv:1212.3841, doi:10.1103/physreve.89.022922 .
  18. Nicely, Thomas R. (1999), «New maximal prime gaps and first occurrences», Mathematics of Computation 68 (227): 1311-1315, Bibcode:1999MaCom..68.1311N, MR 1627813, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0, archivado desde el original el 30 de diciembre de 2014, consultado el 21 de marzo de 2009 ..