Conjetura de Euler

La conjetura de Euler o bien conjetura de la suma de potencias de Euler, es una conjetura refutada en matemáticas relacionada con el último teorema de Fermat. Fue propuesto por Leonhard Euler en 1769. Establece que para todos los números enteros n y k mayores que 1, si la suma de n k-ésimas potencias de enteros positivos es en sí misma una k-ésima potencia, entonces n es mayor o igual que k:

a k
1
 
+ a k
2
 
+ ... + a k
n
 
= bk
nk

La conjetura representa un intento de generalizar el último teorema de Fermat, que es el caso especial n = 2: si a k
1
 
+ a k
2
 
= bk
, entonces 2 ≥ k.

Aunque la conjetura es válida para el caso k = 3 (que se sigue del último teorema de Fermat para las terceras potencias), fue refutada para k = 4 y k = 5. Se desconoce si la conjetura falla o es válida para cualquier valor k ≥ 6.

TrasfondoEditar

Euler era consciente de la igualdad 594 + 1584 = 1334 + 1344 involucrando sumas de potencias a la cuarta; sin embargo, esto no es un contraejemplo porque ningún término está aislado en un lado de la ecuación. También proporcionó una solución completa al problema de los cuatro cubos como en el número de Platón 33 + 43 + 53 = 63 o el número taxicab 1729.[1][2]​ La solución general de la ecuación

 

es

 
 

donde a y b son enteros cualesquiera.

ContraejemplosEditar

La conjetura de Euler fue refutada por Leon Lander y Thomas Parkin en 1966 cuando, a través de una búsqueda directa por computadora en un CDC 6600, encontraron un contraejemplo para k = 5.[3]​ Esto se publicó en un artículo que constaba de solo dos frases.[3]​ Se conocen un total de tres contraejemplos primitivos (es decir, en los que no todos los sumandos tienen un factor común):

275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 (Lander & Parkin, 1966),
(−220)5 + 50275 + 62375 + 140685 = 141325 (Scher & Seidl, 1996), and
555 + 31835 + 289695 + 852825 = 853595 (Frye, 2004).

En 1988, Noam Elkies publicó un método para construir una serie infinita de contraejemplos para el caso k = 4.[4]​ Su contraejemplo más pequeño fue

26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734.

Un caso particular de las soluciones de Elkies se puede reducir a la identidad[5][6]

(85v2 + 484v − 313)4 + (68v2 − 586v + 10)4 + (2u)4 = (357v2 − 204v + 363)4

donde

u2 = 22030 + 28849v − 56158v2 + 36941v3 − 31790v4.

Esta es una curva elíptica con un punto racional en v1 = −31/467. A partir de este punto racional inicial, uno puede calcular una colección infinita de otros. La sustitución de v1 en la identidad y la eliminación de factores comunes da el ejemplo numérico citado anteriormente.

En 1988, Roger Frye encontró el contraejemplo más pequeño posible

958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814

para k = 4 mediante una búsqueda informática directa utilizando técnicas sugeridas por Elkies. Esta solución es la única con valores de las variables por debajo de 1.000.000.[7]

GeneralizacionesEditar

 
Una interpretación del número de Platón, 3³ + 4³ + 5³ = 6³

En 1967, LJ Lander, TR Parkin y John Selfridge conjeturaron[8]​ que si

  ,

donde aibj son números enteros positivos para todo 1 ≤ in 1 ≤ jm, entonces m + nk. En el caso especial m = 1, la conjetura establece que si

 

bajo las condiciones dadas anteriormente, entonces nk − 1.

El caso especial puede describirse como el problema de dividir una potencia perfecta en pocas potencias similares. Para k = 4, 5, 7, 8 y n = k o k − 1, hay muchas soluciones conocidas. Algunos de estos se enumeran a continuación. A partir de 2002, no hay soluciones para   cuyo término final es ≤ 730000.[9]

k = 3Editar

3 3  + 4 3  + 5 3  = 6 3  (Número de Platón 216)
Este es el caso a = 1, b = 0 de la fórmula de Srinivasa Ramanujan
  [10]
Un cubo como la suma de tres cubos también se puede parametrizar como
 
o como
  [10]
El número 2 100 0003 se puede expresar como la suma de tres cubos de nueve formas diferentes.[10]

k = 4Editar

958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 (R. Frye, 1988)[4]
304 + 1204 + 2724 + 3154 = 3534 (R. Norrie, 1911)[8]

Esta es la solución más pequeña al problema de R. Norrie.

k = 5Editar

275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 (Lander & Parkin, 1966)[11][12][13]
195 + 435 + 465 + 475 + 675 = 725 (Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)[8]
215 + 235 + 375 + 795 + 845 = 945 (Lander, Parkin, Selfridge, second smallest, 1967)[8]
75 + 435 + 575 + 805 + 1005 = 1075 (Sastry, 1934, third smallest)[8]

k = 7Editar

1277 + 2587 + 2667 + 4137 + 4307 + 4397 + 5257 = 5687 (M. Dodrill, 1999)[14]

k = 8Editar

908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 13248 = 14098 (S. Chase, 2000)[15]

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Dunham, William, ed. (2007). The Genius of Euler: Reflections on His Life and Work. The MAA. p. 220. ISBN 978-0-88385-558-4. 
  2. Titus, III, Piezas (2005). «Euler's Extended Conjecture». 
  3. a b Lander, L. J.; Parkin, T. R. (1966). «Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers». Bull. Amer. Math. Soc. 72 (6): 1079. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3. 
  4. a b Elkies, Noam (1988). «On A4 + B4 + C4 = D4». Mathematics of Computation 51 (184): 825-835. doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. Elkies, Noam (1988). "On A4 + B4 + C4 = D4" (PDF). Mathematics of Computation. 51 (184): 825–835. doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. JSTOR 2008781. MR 0930224.
  5. «Elkies' a4+b4+c4 = d4». 
  6. «Sums of Three Fourth Powers». 
  7. Frye, Roger E. (1988), «Finding 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 on the Connection Machine», Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications, pp. 106-116, doi:10.1109/SUPERC.1988.74138 .
  8. a b c d e Lander, L. J.; Parkin, T. R.; Selfridge, J. L. (1967). «A Survey of Equal Sums of Like Powers». Mathematics of Computation 21 (99): 446-459. doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. Lander, L. J.; Parkin, T. R.; Selfridge, J. L. (1967). "A Survey of Equal Sums of Like Powers". Mathematics of Computation. 21 (99): 446–459. doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. JSTOR 2003249.
  9. Giovanni Resta and Jean-Charles Meyrignac (2002). The Smallest Solutions to the Diophantine Equation  , Mathematics of Computation, v. 72, p. 1054.
  10. a b c Math world : Diophantine Equation--3rd Powers
  11. Burkard Polster (March 24, 2018). «Euler's and Fermat's last theorems, the Simpsons and CDC6600» (video). Consultado el 24 de marzo de 2018. 
  12. Matheorld: Diophantine Equation--5th Powers
  13. A Table of Fifth Powers equal to Sums of Five Fifth Powers
  14. Matheorld: Diophantine Equation--7th Powers
  15. Matheorld: Diophantine Equation--8th Powers

 

Enlaces externosEditar