Conjugado armónico

En matemáticas, se dice que una función de variables reales definida en un conjunto abierto conexo tiene una función conjugada si y sólo si son respectivamente las partes reales e imaginarias de un función holomorfa de variable compleja Es decir, es conjugada de si y solo si es holomorfa en . Como primera consecuencia de la definición, ambas funciones son armónicas en . Además, si existe la conjugada de esta es única salvo una constante aditiva.

Descripción editar

Una definición equivalente es que,   es conjugada de   en   si y sólo si satisfacen las ecuaciones de Cauchy–Riemann en   Como consecuencia, si   es cualquier función armónica   en   la función   es conjugada para   entonces las ecuaciones de Cauchy–Riemann son justamente la simetría de las segundas derivadas mixtas  , Por tanto, una función armónica   admite una armónica conjugada si y sólo si la función holomorfa   tiene como primitiva a   en cuyo caso una conjugada de   es, naturalmente,   Así que cualquier función armónica siempre admite un función conjugada siempre que su dominio sea simplemente conexo, y en cualquier caso admite un conjugado localmente en cualquier punto de su dominio.

Al operador que toma una función armónica en una región simplemente conexa y devuelve su armónica conjugadase le conoce como transformada de Hilbert y está relacionado con los operadores integrales singulares. Una generalización son las transformadas de Bäcklund lineales; las cuales son de interés en el estudio de solitones y sistemas integrables.

Geométricamente las armónicas conjugadas tienen trayectorias ortogonales, fuera de los ceros de la función holomorfa subyacente; los contornos en qué u y v son constantes se cruzan en ángulos rectos. A f también se le conoce como potencial complejo, donde u es la función potencial y v es la función de corriente.

Armónico conjugado en geometría editar

Hay una ocurrencia adicional del término armónico conjugado en matemáticas, específicamente en geometría proyectiva. Dos puntos A y B son armónicos conjugados con respecto a otro par de puntos C y D si la razón armónica es -1, es decir  .

Referencias editar

  • Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Complex variables and applications (6th edición). New York: McGraw-Hill. p. 61. ISBN 0-07-912147-0. «If two given functions u and v are harmonic in a domain D and their first-order partial derivatives satisfy the Cauchy-Riemann equations (2) throughout D, v is said to be a harmonic conjugate of u. » 

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