Conjunto bien ordenado
En teoría de conjuntos, un conjunto bien ordenado es un conjunto no vacío totalmente ordenado tal que todo subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo. Equivalentemente, puede decirse que un conjunto A es bien ordenado si es totalmente ordenado y bien fundado.
Definición de primer elemento
editarSi es un conjunto totalmente ordenado se dice que es el primer elemento o elemento mínimo de si satisface:
- es un elemento de
- Si es cualquier elemento de , entonces es menor o igual que
Intuitivamente se entiende que el elemento mínimo es el más pequeño de un conjunto.
Principio del buen orden
editarEl principio del buen orden es un lema que establece que todo conjunto que esté formado únicamente por números naturales tiene un primer elemento. Es decir, que el conjunto de los números naturales es bien ordenado. El primer elemento de los números naturales es .
Demostración del principio del buen orden
editarSea un conjunto no vacío. Si no tiene elemento mínimo, entonces existe un conjunto .
- debe de estar en puesto que de no ser así, sería el elemento mínimo de .
- Si cada natural menor o igual a está en , entonces también está en , porque de lo contrario, sería un elemento mínimo de
Luego entonces por el principio de inducción matemática, y , pero eso contradice la suposición de que no era un conjunto vacío.
Por lo tanto, debe tener elemento mínimo.
Generalización
editarSi (A, ≤) es un conjunto bien ordenado, y B es un subconjunto de A con la relación de orden inducida y f:A → B un isomorfismo, entonces para todo a ∈ A, vale a ≤ f(a).
Dado un número ordinal (teoría de conjuntos) α, el conjunto de todos los números ordinales β < α es un conjunto bien ordenado. Así es isomorfo al conjunto ordenado {β: β < ω}.
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Este resultado significa que los conjuntos bien ordenados son clasificados hasta isomorfismo por los números ordinales. Aceptando el axioma de elección, se obtiene el siguiente teorema (que de hecho es equivalente):
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Una generalización de la noción de conjunto bien ordenado es la de conjunto bien fundado.
Esquema de temas relacionados
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Referencias
editar- Keith Devlin, The Joy of Sets, Springer Verlag, 1992