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Un conjunto conexo es un subconjunto de un espacio topológico (donde es la colección de conjuntos abiertos del espacio topológico) que no puede ser expresado como unión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacíos de la topología.

Intuitivamente, un conjunto conexo es el que aparece como una sola pieza, que no se puede 'dividir' o 'particionar'. En el caso de que un conjunto no sea conexo, se dice que es disconexo.

Formalmente

es un conjunto conexo si y sólo si

implica

Nótese que si y cumple lo anterior, entonces decimos que es un espacio topológico conexo.

Bajo estas definiciones, se tiene que es conexo si y solamente si es un espacio topológico conexo para la topología traza.

Vamos a definir la conexividad en forma negativa: Un conjunto S se llama conexo, si no existe una partición del mismo en dos conjuntos no vacíos y disjuntos S 1 y S 2, ninguno de los cuales contiene puntos de acumulación del otro. Una hoja de papel es un conjunto conexo, al cortarla en dos partes se ve que ningún punto de una parte es punto de acumulación de la otra.

EjemplosEditar

 
El espacio A es conexo.
El espacio B no lo es.

Conjuntos conexosEditar

  • Las esferas   son conexas
  • Un punto en   es conexo
  • Un nudo es un conjunto conexo en  
  • Un toro es un conjunto conexo en  
  • En  , un intervalo cerrado por la derecha o por la izquierda es un conjunto conexo; de igual modo un punto de la recta.
  • El complementario de un punto en   es conexo
  • En el plano, un polígono simple con su interior es un conjunto conexo, considerando la topología usual.

Conjuntos desconexosEditar

  • Cualquier conjunto finito que contiene más de un punto, sea en la recta, el plano o el espacio geométrico usual.
  • El conjunto formado por todos los puntos de un número finito de conjuntos cerrados   sin puntos comunes dos a dos. Simplificando, todos los puntos de cuatro círculos, ubicados en sendos cuarteles de una una región cuadrada [1]​ .

Subconjunto conexo en la rectaEditar

Sea   provisto de la topología usual  , además   un intervalo de   y   subconjuntos abiertos de   tales que   es parte de la unión de   y  . Entonces  . En este caso   es un subconjunto conexo de la recta real.

  • Un subconjunto   de la recta es un subconjunto conexo de la recta real cuando, y sólo cuando se trata de un único intervalo. De cualquier intervalo basta retirar un punto, lo que queda ya no es conexo, tampoco lo es el conjunto  [2]

Conjuntos disconexosEditar

  • El complementario de un punto en  
  • El conjunto formado por la unión de dos esferas disjuntas en  
  • Un enlace de   componentes (nudos),  
  • El conjunto Q de los números racionales no es un conjunto conexo en la topología usual de ℝ. En efecto sea m = raíz cuadrada de tres. Los conjuntos U = (-∞, m) y V = (m, +∞) . Se tiene que Q es parte de la unión de U y V. Además la intersección de Q con U, de Q con V no es vacío; pero la intersección de U con V es = ∅, lo mismo que Q inter U inter V es vacío. Q está contenido en la unión de dos abiertos disjuntos.
  • El conjunto de los irracionales Qc no es un conjunto conexo en el espacio (R, Tu). Tomar el punto 5 y formar dos abiertos, semirrectas a la izquierda y la derecha. Y proseguir como en el caso de Q.

Propiedades de los conjuntos conexosEditar

Se cumple que si   es un espacio topológico conexo, cualquier espacio homeomorfo a él también lo será. Esta propiedad nos da una caracterización muy útil de los conjuntos conexos:   es un conjunto conexo si y solamente si para toda función   continua, se cumple que   es una función constante, donde a   se le dota de la topología discreta.

Otra propiedad interesante de los conjuntos conexos es la siguiente: Si   es una familia de espacios topólogicos conexos (con   un conjunto de índices de cualquier cardinalidad), entonces   también es conexo, donde   es la topología producto.

Por último, si   no es conexo, es decir, si existen abiertos   disjuntos no vacíos tales que su unión es  , es fácil ver que cada abierto será el complemento del otro, luego serán complementos de un abierto, y por ende, serán cerrados. Es decir, serán conjuntos clopen. Por esto, otra manera de caracterizar la conexidad es decir:   será conexo si y sólo si los únicos clopen son   y el vacío (donde ambos conjuntos son siempre clopen).

Conexión por caminosEditar

Diremos que un conjunto   es conexo por caminos o arco conexo si dados   existe un camino continuo   tal que   y  .

La conexidad por caminos implica conexidad, pero el recíproco no es cierto en general. Un contraejemplo muy típico es el llamado peine del topólogo,  , donde   y  .   es conexo, pero no conexo por caminos.

Ser conexo por caminos no es una propiedad hereditaria (esto es, si un conjunto es conexo por caminos, cualquier subconjunto de éste no es necesariamente conexo por caminos). Sin embargo, ser conexo por caminos es una propiedad topológica (es decir, la imagen mediante una aplicación continua de un conjunto conexo por caminos es conexa por caminos).

Componentes conexasEditar

Dado un espacio topológico   se llama componente conexa, a cada uno de los conjuntos maximales conexos. Es decir un subconjunto   es un componente conexo si se cumplen estas dos condiciones:

  1.   es conexo.
  2. Cualquier conjunto   que contiene propiamente a   es disconexo.

Se cumple que los componentes conexos de   forman una partición de  . Si   es conexo, se tiene que   es su única componente conexa.

ReferenciasEditar

  1. Adaptación de A. Markushevich Teoría de las funciones analíticas tomo I Editorial Mir Moscú (1970) traducido del ruso por Emiliano APARICIO BERNARDO
  2. Mansfiel: Introducción a la topología

Enlaces externosEditar