Conjunto perfecto

En topología, un conjunto perfecto es un subconjunto cerrado tal que todos sus puntos son puntos de acumulación (es decir, el conjunto carece de puntos aislados).

CaracterizaciónEditar

Sea S un conjunto y S′ el conjunto de sus puntos de acumulación. Nótese que un conjunto S de un espacio topológico es cerrado cuando  , es decir, cuando   contiene todos sus puntos de acumulación. Dos conjuntos S y T están separados cuando son disjuntos y cuando los conjuntos derivados, formados por sus puntos de acumulación, también son disjuntos. En esas condiciones, el conjunto S es un conjunto perfecto si S = S′. Esto equivale a la definición original, un conjunto es perfecto si es un conjunto cerrado sin puntos aislados.

PropiedadesEditar

  • Los conjuntos perfectos son importantes en las aplicaciones del teorema de categorías de Baire.
  • Un conjunto perfecto de   es necesariamente no numerable.
  • El conjunto Xº de los puntos de condensación de X es un conjunto perfecto, i.e. cerrado y denso.[1]

EjemplosEditar

  • En  , cualquier unión finita de intervalos cerrados de la forma   es un conjunto perfecto.
  • El conjunto de Cantor es un conjunto perfecto, y por tanto no numerable.

ReferenciasEditar

  1. Ayala-Domínguez-Quintero: Elementos de topología general ISBN 84-7829-006-0 pág 116

BibliografíaEditar