Conjunto perfecto

En topología, un conjunto perfecto es un subconjunto cerrado tal que todos sus puntos son puntos de acumulación (es decir, el conjunto carece de puntos aislados).

Caracterización

Sea S un conjunto y S′ el conjunto de sus puntos de acumulación. Nótese que un conjunto S de un espacio topológico es cerrado cuando $S'\subseteq S$, es decir, cuando $S$ contiene todos sus puntos de acumulación. Dos conjuntos S y T están separados cuando son disjuntos y cuando los conjuntos derivados, formados por sus puntos de acumulación, también son disjuntos. En esas condiciones, el conjunto S es un conjunto perfecto si S = S′. Esto equivale a la definición original, un conjunto es perfecto si es un conjunto cerrado sin puntos aislados.

Propiedades

• Los conjuntos perfectos son importantes en las aplicaciones del teorema de categorías de Baire.
• Un conjunto perfecto de $\mathbb {R} ^{n}$ es necesariamente no numerable.
• El conjunto X^º de los puntos de condensación de X es un conjunto perfecto, i.e. cerrado y denso.​

Ejemplos

• En $\mathbb {R}$, cualquier unión finita de intervalos cerrados de la forma $[a_{i},b_{i}]\subset R$ es un conjunto perfecto.
• El conjunto de Cantor es un conjunto perfecto, y por tanto no numerable.

Referencias

Bibliografía

• Kechris, A. S. (1995). «Classical Descriptive Set Theory». Berlin, New York (Springer-Verlag). ISBN 978-0-387-94374-9. 

• Datos: Q7168101