Continuidad uniforme

En análisis matemático una función se dice que es uniformemente continua si pequeños cambios en el valor de producen pequeños cambios en el valor de la función (continuidad) y el tamaño de los cambios de depende solo del tamaño de los cambios en x pero no del valor de x (uniforme).

DefiniciónEditar

Dados dos espacios métricos   y  , y   entonces una función   se llama uniformemente continua en M si para cualquier número real   existe   tal que  , implica que   para todo  .

Una función   es uniformemente continua en un intervalo   si para todo   existe algún   tal que para todo   se cumple que si  , entonces  .[1]

A diferencia de la continuidad, donde el valor de   depende del punto x, en las funciones uniformemente continuas no depende de dicho valor.

EjemplosEditar

  • La función 1/x con x>0 es continua pero no uniformemente continua
  • La función x es uniformemente continua en el intervalo [0,1].
  • Todo polinomio   cuyo grado sea mayor o igual que uno es uniformemente continuo en un intervalo cerrado.

ResultadosEditar

  • De la definición se deduce que toda función uniformemente continua es continua. Lo contrario (toda función continua es uniformemente continua) no siempre es cierto. Ejemplo: Si   y  .   es continua y no es uniformemente continua. Sin embargo, se verifica que:

Si M es un espacio métrico compacto e Y un espacio métrico, entonces toda función continua f : M → Y es uniformemente continua. En particular, toda función continua sobre un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en dicho intervalo (Teorema de Heine-Cantor).

Notas y referenciasEditar

  1. Spivak, Michael (1992). Cálculo infinitesimal (2 edición). Reverté. ISBN 968-6708-18-9.